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Niveau terminale
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equa diff y'-y=exp(x)

Posté par raoul29 (invité) 22-06-06 à 09:54

bonjour,
je cherche à résoudre l'équa diff y'-y=exp(x).
suivant ce que j'ai vu, je dois chercher des solutions du type p(x)=k.exp(x)
mais du coup je trouve y'-y=0, dc ça colle pas...
où est ce que je me trompe?

Posté par raoul29 (invité)re : equa diff y'-y=exp(x) 22-06-06 à 10:10

en fait je crois que j'ai trouvé...
solution particuliere de l'équation complète: x.exp(x)
solution générale de l'équation sans 2nd membre: K.exp(x)
dc solution générale de l'équation complète: f(x)=K.exp(x)+x.exp(x)

c'est correct?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : equa diff y'-y=exp(x) 22-06-06 à 10:21

OUI.

Posté par curty (invité)re : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 17:38

Bonjour
J'arrive au meme resultat par la methode de Lagrange mai pas par indentification?
pouriez vous me develloper votre raisonnement svp.

Posté par
lyonnaisre : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 18:04

Salut curty

En attendant la réponse de raoul29 , voici comment j'aurais fait :

y' - y = exp(x) (1)

1°) Equation homogène associée :

y' - y = 0

Solution du type : x -> K.exp(x)

2°) Recherche de la solution particulière :

a) Méthode de la variation de la constante. On prend pour cela : g : x -> A(x).exp(x)

g vérifie (1) donc :

g'(x) - g(x) = exp(x)
A'(x).exp(x) + A(x).exp(x) - A(x).exp(x) = exp(x)
A'(x) = 1

donc on peut prendre A(x) = x

D'où g : x -> x.exp(x)

b) y' - y = exp(x)  est du type  y' - ay = P(x).exp(mx)

ici m = -a donc d'après notre cours, la solution particulière est du type x -> (cx+d).exp(x)

En remplacant :

c.exp(x) + (cx+d).exp(x) - (cx+d).exp(x) = exp(x)
c.exp(x) = exp(x)
c = 1

Et on peut prendre d = 0

ainsi on retrouve bien  g : x -> x.exp(x)

3°) solution générale :

x -> x.exp(x) + K.exp(x)

J'espère que ça t'aidera !

A+
romain

Posté par
Nightmarere : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 20:18

Bonsoir

Voici ma méthode :

3$\rm y'-y=e^{x}

En multipliant par exp(-x) :
3$\rm e^{-x}y'(x)-e^{-x}y(x)=1
Soit :
3$\rm (e^{-x}y(x))'=1
On en déduit :
3$\rm e^{-x}y(x)=x+K
d'où finalement :
3$\rm y(x)=xe^{x}+Ke^{x}

Posté par
lyonnaisre : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 20:27

Bien vu Jord

Je fais "pitié" à coté avec ma longue démo

Encore bravo, on ne me l'avait jamais faite celle là

Romain

Posté par
Nightmarere : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 20:34

Posté par
kaiser Moderateurre : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 20:39

Bonsoir à tous

Juste pour t'embêter Nightmare :

Citation :
3$\rm (e^{-x}y(x))'=1


J'ai bien lu ?

Kaiser

Posté par
Nightmarere : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 20:41

En considèrant 1 comme l'application qui à x associe l'unité, bien évidement

De toute façon, l'écriture de l'équadiff est en elle même incorrect :

y'-y=exp(x)
Il aurait fallut écrire y'(x)-y(x)=exp(x), mais la convention veut que ... M'enfin

Le monde n'est plus ce qu'il était. Oui je sais, j'exagère

Posté par
Nightmarere : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 20:42

Ah, ce n'est pas du 1, que tu voulais parler, mais de la notation "prime" pour désigner la dérivée ... Oui bon ...

Allez on la refait :
3$\rm \frac{d}{dx} e^{-x}y(x)=1

Voili voilou

Posté par
kaiser Moderateurre : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 20:44

Je faisais plutôt allusion au fait que tu dérivais un nombre mais bon on va pas chipoter !

Posté par
kaiser Moderateurre : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 20:45

Voilà qui est mieux !

Posté par
lyonnaisre : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 20:51

J'ai hésité à le dire Kaiser

Dommage que mon pc est beugé, sinon je ne me serais pas géné !

3$\rm (e^{-x}y(x))'(x)=1  ça marche aussi nan ?

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 20:52

ça je ne pense pas !

Posté par
Nightmarere : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 20:53

Non ça ne veut plus rien dire là

Posté par
lyonnaisre : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 20:57

Ok merci

Je voulais en être sûr !

Donc on va dire que c'est :  3$\rm \frac{d}{dx} e^{-x}y(x)=1

Merci leibnitz !

Romain

Posté par
ottore : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 20:58

Jolie démo Nightmare, très astucieuse.

Posté par
kaiser Moderateurre : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 20:58

Leibniz !

Posté par
lyonnaisre : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 21:00

Si tu le dis ! J'étais pratiquement certain d'avoir fait une faute d'orthographe, mais j'ai eu la flem d'ouvrir une page google :D

Bien fait pour moi !

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : equa diff y'-y=exp(x) 22-08-06 à 21:00

Posté par curty (invité)re : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 01:03

merci pour ces demonstrations lyonnais!
et encore bravo à nightmar!
merci a tous

Posté par
lyonnaisre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 10:26

Je t'en prie

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 10:27

Bonjour,

Il me fallait une occasion de poster un message qui sert à rien et bien voila c'est fait (je m'en excuse) :

Il s'agit de nightmare


lyonnais > des problèmes avec MSN ?

Posté par
lyonnaisre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 10:31

puisea > j'en profite pour te dire un mot :

je sais que tu t'avançais un peu pour la sup. Si tu as le temps, revoit cet exo, parce qu'au début de l'année, c'est un des exos types !

A ce niveau là, c'est plus des problèmes, impossible de se connecter, j'ai installer/désinstaller plusieurs fois et rien ni fait : virus peut-être ?
Romain

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 10:34

Et bien du coup, mes messages ne deviennent plus du tout inutiles ^^

Merci du conseil lyonnais, je vais tâcher de revoir les exos sur les différentielles dès maintenant.

Pour ce qui de msn, c'est très étonnant en effet...
Pour faire une analyse anti virus, essaye d'aller sur :
et clique sur : scannez maintenant

@+

Posté par
lyonnaisre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 11:11

Merci puisea

j'attends que mon analyse anti-virus se termine et je teste avec ton lien

A+

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 11:13

Ca marche, pas de soucis

Je viens de reprendre ta démo et j'ai quelques difficultés de compréhension à partir du 2° b)

c'est du niveau terminale ca ?

Citation :
y' - y = exp(x)  est du type  y' - ay = P(x).exp(mx)


Quelques explications ne seraient pas de refus Sinon je vais chercher ca cette aprem

Posté par
lyonnaisre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 11:20

Pas de problème puisea

Je ne crois pas que ce soit niveau terminal. En fait, voici le théorème utilisé.

Soit l'équa diff y'+ay = P(x).exp(mx) avec P un polynome de degré n. Les solutions de cette équa diff sont x -> Q(x).exp(mx) avec Q(x) un polynome de degré :

n si n si m -a

n+1 si m = -a

Application :

y' - y = exp(x)

Le polynome P(x) est de degré n = 0 (puisque c'est 1)
On a m = 1 et a = -1 . Conclusion m = -a

Donc les solutions sont de la forme x -> Q(x).exp(mx) avec Q(x) un polynome de degré n+1 = 0+1 = 1

Donc Q(x) est du type cx+d

Et après, on applique

J'espère que ça va t'aider !

Romain

Posté par
lyonnaisre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 11:22

Rectification sinon je vais me faire tapper sur les doigts par Jord ( et il aura raison )

Citation :
Soit l'équa diff y'+ay = P(x).exp(mx) avec P un polynome de degré n. Les solutions de cette équa diff sont x -> Q(x).exp(mx) avec Q un polynome de degré :

n si n si m -a

n+1 si m = -a

Application :

y' - y = exp(x)

Le polynome P est de degré n = 0 (puisque c'est 1)
On a m = 1 et a = -1 . Conclusion m = -a

Donc les solutions sont de la forme x -> Q(x).exp(mx) avec Q(x) un polynome de degré n+1 = 0+1 = 1

Donc Q est du type cx+d


Ah ! C'est tout de suite mieux

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 11:27

Merci lyonnais je pense avoir saisi le principe, je vais revoir ca avec d'autres exemples

Posté par
lyonnaisre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 11:37

Ok heureux d'avoir pu t'expliquer

Si tu veux t'entrainer, j'en ai une sous la main là où j'ai la correction :

C'est pas la plus simple, je l'avoue

y' - y = x².sh(x) = x².(ex-e-x)/2

Sache juste que pour les équa diff, tu peux appliquer le principe de superposition. C'est à dire que si tu résouds séparement :

y' - y = (1/2).x².exp(x)

et

y' - y = -(1/2).x².exp(-x)

Les solutions générales sont la réunion des solutions trouvées.

Donc voila, si tu as le temps !

Je ne serais pas connecté cette aprem
A+
romain

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 11:41

Merci Romain, je vais essayer de m'attaquer à ca cette après-midi.

Posté par
lyonnaisre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 11:49

Cool

Je passerai dans la soirée, voir s'il y a une réponse, mais ne te presse surtout pas !

Il nous reste encore un peu de vacance !

Romain

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 11:50

Citation :
Je passerai dans la soirée, voir s'il y a une réponse, mais ne te presse surtout pas !


Oki

Citation :
Il nous reste encore un peu de vacance !


Justement, c'est maintenant ou jamais (oserais-je dire).



@+

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 16:39

Bonjour, me revoila donc pour l'exo que tu m'as donné Romain... Je sais pas si cela va être apprécié qu'il y ai un deuxième exo de traité dans ce sujet, mais au moins je suis sur que tu retrouveras ce post

Voila où j'en suis :

On veut donc résoudre sur \mathbb{R} l'équation \fbox{y'-y=x^2sh(x)}.

Or on a : 4$\fbox{y'-y=x^2sh(x)\Leftrightarrow y'-y=x^2(\frac{e^x-e^{-x}}{2})}

Tu m'as parlé du principe de superposition qui après recherche est le suivant :

Citation :

Le principe de superposition est fondé sur le fait que si :

- f1 est solution de ay'(t) + by(t) = d1(t),
- f2 est solution de ay'(t) + by(t) = d2(t),

alors 1f1 + 2f2 est solution de ay'(t) + by(t) = 1d1(t) + 2d2(t)


Donc j'ai pris séparément les équations suivantes :

4$\blue\fbox{y'-y=\frac{1}{2}x^2e^x\\y'-y=\frac{1}{2}x^2e^{-x}}

En utilisant la méthode de la variation de la constante sur la première équation on voit qu'elle admet pour solution particulière :

4$\fbox{f_1(x) = \frac{1}{6}x^3e^x}

En revanche, je bloque sur la deuxième équation...

En utilisant la première méthode, on arrive à :

4$ A'(x)=\frac{1}{2}x^2e^{-2x}

Et trouver la primitive de 4$ A' n'est pas facile.

En utilisant la deuxième méthode, j'arrive à :

Q est polynôme de degré deux donc de la forme ax² + bx +c

En remplacant on arrive à :

4$ (2ax+b)e^x = x^2sh(x)

et là je ne vois pas comment trouver a et b...

En admettant que 4$\fbox{f_2} est solution particulière de la deuxième équation, alors on aurait comme solution particulière de l'équation différentielle complète :

4$\fbox{f_0(x) = f_1 - f_2 = \frac{1}{6}x^3e^x - f_2}

Voila où j'en suis actuellement

Sauf erreur.

Posté par
kaiser Moderateurre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 16:53

Bonjour puisea

J'espère que lyonnais ne m'en voudra pas ( ) mais je me propose de t'aider si tu n'y vois pas d'inconvénient.
Tout d'abord, trouver une primitive de \Large{x\mapsto \frac{x^{2}}{2}e^{-2x}} est faisable en effectuant des intégrations par parties (en choisissant à chaque fois de dériver le polynôme).

Par contre, comment arrive-tu à la relation suivante ?

Citation :
4$ (2ax+b)e^x = x^2sh(x)


kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 17:39

Bonjour kaiser et merci

Pour l'IPP, il faut un bornage, non ?

Pour ce qui est de la relation et bien j'ai pris la méthode de Romain à partir du 2° b)

y' - y = 1/2 x² e^(-x)  est du type  y' - ay = P(x).exp(mx)

ici m -a donc d'après notre cours, la solution particulière est du type x -> (ax²+bx+c).exp(x)

En remplacant :

(2ax + b).exp(x) + (ax²+bx+c).exp(x) - (ax²+bx+c).exp(x) = x² sh(x)
ce qui nous donne :

(2ax + b).exp(x) = x² sh(x)

@+

Posté par
kaiser Moderateurre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 17:47

Citation :
Pour l'IPP, il faut un bornage, non ?


Tu peux toujours intégrer entre 0 et x (auquel cas tu déterminera la primitive qui s'annule en 0).

Kaiser

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 18:08

Ok alors après deux IPP successives, j'arrive à :

4$\int_0^{x} \frac{1}{2}x^2e^{-2x} = \frac{1}{2}([x^2e^{-2x}]_0^x - \frac{1}{2}[xe^{-2x}]_0^x -\frac{1}{4}[e^{-2x}]_0^x)

Ce qui donnerait sauf erreur :

4$\int_0^{x} \frac{1}{2}x^2e^{-2x} = \frac{1}{2}(x^2e^{-2x} - \frac{1}{2}(xe^{-2x}) -\frac{1}{4}(e^{-2x}-1))

Ca parait louche, non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 18:45

Attention aux notations tout de même !
on devrait plutôt écrire \Large{\bigint_{0}^{x}\frac{t^{2}}{2}e^{-2t}dt}.

Par ailleurs, il me semble que tu as oublié des constantes.
Par exemple, en faisant ta première IPP, tu n'aurais pas oublié de diviser par -2 (en intégrant l'exponentielle) ?

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 19:06

Exact pour les élémenets différentiels

Non je multiplie bien par -1/2

Posté par
kaiser Moderateurre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 19:16

N'oublie pas le facteur \Large{\frac{1}{2}} du début.
De mon côté, je vais effectuer les calculs et je te dirais ce que je trouve.

Posté par
kaiser Moderateurre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 19:19

En fait, je trouve la même chose que toi à part que j'ai un signe "moins" devant le \Large{x^{2}}.

Posté par
kaiser Moderateurre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 22:15

Je voudrais revenir sur la 2ème partie de ton message de 17h39.
Quand tu utilises la méthode donnée par Romain, le second membre, ça serait plutôt \Large{x^{2}e^{-x}}. De plus, une solution particulière serait de la forme \Large{(ax^{2}+bx+c)e^{-x}} (ne pas oublier le signe "moins").

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 22:59

Pour le signe "moins" il s'agit d'une erreur de frappe (copier/coller), je l'avais bien pris en compte sur mon brouillon... Pour ce qui est du second membre en effet ca change la donne... Je vais reprendre tout ca demain matin, et je poste mes résultats

Merci kaiser, bonne fin de soirée.

Posté par
kaiser Moderateurre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 23:04

Bonne fin soirée à toi aussi !

Posté par
lyonnaisre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 23:36

En retard

Merci Kaiser de t'être occupé de puisea !! Je ne t'en veux pas, bien au contraire

On attend donc ta réponse demain pierre, et je te donnerais la mienne. Si tu veux, je pourais te tapper ma résolution !

Bonne soirée

Romain

Posté par
kaiser Moderateurre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 23:46

Bonne soirée !

P.S :

Citation :
Si tu veux, je pourais te tapper ma résolution !


De la LaTeXification dans l'air ?

Posté par
lyonnaisre : equa diff y'-y=exp(x) 23-08-06 à 23:51

Une petite envie soudaine :D

Par contre, j'ai pas lu en détail vos réponses, mais pas d'IPP en vu de mon coté !

Romain

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