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Equation angles orientés.
Bonjour !
Merci de me corriger cette solution d'exercice :
Résoudre dans ]0;2
] l'équation 4cos²(x)-1=0, puis représenter les solutions.
4cos²(x)-1=0 <=> 4cos²(x)=1 <=> cos²(x)=1/4. <=> cos(x)= 
(1/4).
Donc cos(x)= 1/2, puis que 1/2 
]0;2].
Donc x = /3 ou x = 5/3. ( Y A T IL BESOIN DE PLUS DE JUSTIFICATIONS POUR CETTE ETAPE LA ? )
Pour les représentations des solutions (rouge), voir le document joint.
Merci à tous ! 
Bonsoir
si x²=a, il y a 2 racines qui sont
x=a et
x=-a
donc tu dois inclure dans les solution à l'équation
cosx=-1/2 avec là de nouveau deux angles possibles qe je te laisse compléter
rebonsoir,
Pour la question : Y A T IL BESOIN DE PLUS DE JUSTIFICATIONS POUR CETTE ETAPE LA ?
la reponse est OUI 
cos x= 1/2
<=> cosx= cos pi/3
<=> x = pi/3 + 2kpi ou x = -pi/3 + 2kpi
les solutions devant être dans ]0;2pi] on prend k = 0 pour la première et k = 1 pour la seconde ce qui donne pi/3 et 5pi/3
par contre comme te dit gaa (que je salue) il te manque des solutions.
Ne confonds pas la valeur du cos ( 1/2 ou -1/2) et l'angle qui lui doit être entre 0 et 2pi.
euh j'ai peur que tu comprenne mal ma phrase:
Ne confonds pas la valeur du cos ( qui prend les valeurs 1/2 ou -1/2) et l'angle qui lui doit être entre 0 et 2pi.
much better ...
Bonsoir/bonjour sarriette !
Désolé du retard de la réponse, j'ai eu un petit soucis...
Alors je vais essayer de reprendre l'exercice :
4cos²(x)-1=0 <=> 4cos²(x)=1 <=> cos²(x)=1/4. <=> cos(x)= (1/4).
Donc cos(x)= 1/2 <=> cos(x)=cos(/3)
On a donc soit x = /3 + 2k avec k
soit x= -/3 + 2k' avec k'
De plus, les solutions doivent appartenir à ]0:2], il faut donc que :
0<x
2 0<x2
0</3 + 2k2 0<-/3 + 2k'2
-/3<2k2-/3 /3<2k' 2+/3
-/3<2k5/3 /3<2k'7/3
(-/3)/2<k
(5/3)/2 (/3)/2<k'(7/3)/2
-/3*2<k5/3*2 /3*2<k'7/3*2
-/6<k5/6 /6<k'7/6
-1/6<k5/6 1/6<k'7/6
Or -1/6 
-0,667 et 5/61,8333. 1/60,6667 et 7/61,16667.
Donc k = 0. Donc k =1.
Si k =0, alors x= /3 + 2*0* Si k=1, alors x = -/3 + 2*1*
x =/3 x = -/3 + 6/3
x = /3 x = 5/3
Les solutions de l'équation dans l'intervalle ]0;2] sont /3 et 5/3.
Y a til des erreurs ?
pour la représentation des solutions sur le cercle trigonométrique, était-ce juste ? merci !!
bonjour Andyy,
Beau travail! Mais une erreur qui persiste ici:
cos²(x) = 1/4 n'est pas equivalent à cos(x) = mais à
OU cosx=
comme te l'a dit gaa
Il y a donc un autre couple solution ...
pour ta recherche de k et k' je n'ai pas le temps de lire le détail je dois filer , je repasserai , mais ça a l'air de convenir, quoique perso ça me semble superflu...mais bon tout depend du niveau de rigueur du professeur!
fais l'autre cas (cosx= -1/2) et dis moi ce que tu trouves.
Bonne journée at home, on n'a pas eu cette chance! 
lol alors travaillez bien !
Je suis toujours fâché avec cosx=-1/2 lol, car comme les solutions sont dans ]0;2], je pensais que -1/2 n'en faisait pas partie ...
Enfin bon, passons à l'application !
PS : pour la recherche de k et k', le prof veut absolument que l'on passe par là ... Sauf si c'est une recherche pour une mesure principale, et qu'avant de la calculer, la valeur de l'angle orienté est déjà dans ]-;].
Alors ça me fais donc :
cos²(x)=1/4 donc cos(x)=-(1/4) ou cos(x)=(1/4) résultat déjà trouvé plus haut.
<=>cos(x)=-1/2.
l'équation est donc équivalente à : cos(x)=cos(-/3).
On a donc soit x = -/3 + 2k avec k ou soit x = /3 + 2k' avec k'.
De plus, les solutions doivent appartenir à ]0;2], il faut donc que :
... ...
Même démarche que précédemment, on trouve finalement :
x = 5/3 et x = /3.
Donc les solutions de l'équation cos(x)=cos(-/3) sont les mêmes que les solutions de l'équation cos(x)=cos(/3).
Les solutions de l'équation sont donc /3 et 5/3.
Juste une dernière question : peux-tu m'expliquer pourquoi on peut prendre la valeur -1/2 alors que l'on est dans l'intervalle ]0;2] ?
Pour la représentation sur le cercle trigo. est-ce juste ?
Merci bien, en espérant que vous n'avez pas finit sous une avalanche de neige !
Non pas d'avalanche de neige , mais une rivière au milieu du jardin et une partie de la maison inondée...
Ralala... la Provence n'est pas faite pour la pluie! 
Alors je corrige deux trucs:
1) enlève moi ce signe "<=>" au début de ton raisonnement , tu mets l'équivalence au début:
cos²x=1/4 <=> cosx = 1/2 ou cosx= -1/2
puis tu traites séparement les deux cas.
2) cosx= -1/2 <=> cosx = cos(2pi/3) <=> x = 2pi/3 + 2kpi ou x= -2pi/3 +2kpi
etc
les solutions dans ]0;2pi] seront 2pi/3 et 3pi/5
ce qui va te donner 4 points sur le cercle ( essaie de faire tes pi/3 avec un cos qui a l'air de valoir 1/2 quand même... )
pour ta dernière question :
Comme je te disais hier soir, tu confonds les valeurs que prend l'angle avec celles que prend le cosinus de l'angle.
En fait pour comprendre ton équation, prends le cercle trigo, regarde sur la ligne du cos, place 1/2 et -1/2 et regarde sur le cercle tous les points qui conviennent.
l'angle que tu associeras à ces cos, dépendra de l'ensemble sur lequel tu résous ton équation .
Si l'angle est entre 0 et 2pi, tu n'as droit qu'au premier tour sur le cercle trigo , et en le parcourant du 0 vers le 2pi en sens trigo. Tu lis sur le cercle les valeurs que tu rencontres.
Si par exemple tu avais eu à chercher la même équation dans ]-pi;pi] , tu aurais lu les mêmes points mais en partant de -pi, et en parcourant dans le sens rigo: tu obtiens alors:
-2pi/3;-pi/3;pi/3;2pi/3.
Cela n'aurait pas changé les positions des points sur le cercle,( puisque ce sont les points pour lesquels le cos vaut 1/2 ou -1/2) juste la valeur de l'angle que l'on associe à ce point.
Et si tu avais eu à résoudre ça dans ]2pi;4pi] c'est à dire au deuxième étage du cercle trigo , encore une fois tout le calcul de résolution est le même , seules les valeurs de k et k' changent et aussi les valeurs des angles associés .
Je sais pas si c'est mieux...
D'accord, je vais tout reprendre depuis le début, ça sera sans doute plus clair !
[ Aïe Aïe, je préfère encore être bloqué par la pluie plutôt que les inondations ! ]
4cos²(x)-1=0 <=> 4cos²(x)=1 <=> cos²(x)=1/4. <=> cos(x)= (1/4).
Donc cos(x)= 1/2 ou cos(x)= -1/2.
Solutions de l'équation cos(x)= 1/2 :
L'équation est équivalente à : cos(x)= 1/2 <=> cos(x)= cos(/3).
On a donc soit x = /3 + 2k avec k soit x= -/3 + 2k' avec k'.
De plus, les solutions doivent appartenir à ]0:2], il faut donc que :
0<x2 0<x2
0</3 + 2k2 0<-/3 + 2k'2
-/3<2k2-/3 /3<2k' 2+/3
-/3<2k5/3 /3<2k'7/3
(-/3)/2<k(5/3)/2 (/3)/2<k'(7/3)/2
-/3*2<k5/3*2 /3*2<k'7/3*2
-/6<k5/6 /6<k'7/6
-1/6<k5/6 1/6<k'7/6
Or -1/6 -0,667 et 5/61,8333. 1/60,6667 et 7/61,16667.
Donc k = 0. Donc k =1.
Si k =0, alors x= /3 + 2*0* Si k=1, alors x = -/3 + 2*1*
x =/3 x = -/3 + 6/3
x = /3 x = 5/3
Les solutions de l'équation cos(x)= 1/2 ,dans l'intervalle ]0;2], sont /3 et 5/3.
Solutions de l'équation cos(x)= -1/2 :
L'équation est équivalente à : cos(x)= -1/2 <=> cos(x)= - cos(/3). Puisque les solutions doivent appartenir à l'intervalle ]0;2], alors l'équation revient à :
cos(x)=cos (2/3).
On a donc soit x = 2/3 + 2k avec k soit x= -2/3 + 2k' avec k'.
De plus, les solutions doivent appartenir à ]0:2], il faut donc que :
0<x2 0<x2
0<2/3 + 2k2 0<-2/3 + 2k'2
-2/3< 2k2- 2/3 2/3< 2k'2+ 2/3
-2/3< 2k6/3- 2/3 2/3< 2k'6/3+ 2/3
(-2/3)/2< k(4/3)/2 (2/3)/2< k'(8/3)/2
-2/6< k4/6 2/6< k'8/6
-2/6< k4/6 2/6< k'8/6
Or -2/6-0,3333 et 4/60,66667 2/60,333333 et 8/6 1,333333
Donc k = 0. Donc k =1.
Si k =0, alors x = 2/3 + 2*0* Si k=1, alors x= -2/3 + 2*1*
x =2/3 x= -2/3 + 6/3 = 4/3. <-- Ici j'ai fait une érreur, mais je n'arrive pas à trouver ou !
Les solutions de l'équation cos(x)= -1/2 ,dans l'intervalle ]0;2], sont 2/3 et 4/3.
Où ais-je fait l'érreur ?
alors je corrige au fur et à mesure:
4cos²(x)-1=0 <=> 4cos²(x)=1 <=> cos²(x)=1/4. <=> cos(x)= (1/4).
c'est quoi cette équivalence à la fin? où est passé le carré? je suppose qu'elle est en trop, non?
première équation juste si on excepte la faute de frappe: c'est l'intervalle ]0;2pi] et pas ]0;2]
deuxieme equation :
inutile de passer par -cos(pi/3) , tu as directement l'équivalence: cos(x) = -1/2 <=> cos(x) = cos(2pi/3)
pas besoin de préciser que c'est parce que tu veux x dans cet intervalle ( puisque apres tu utilise -2pi/3)
Ne confonds pas avec la solution finale.
Il n'y a pas d'erreur dans ta résolution mais il y en a une dans la mienne
J'ai mal compté mes pi/3 sur le cercle. C'est donc bien 4pi/3 ( avec mes excuses ! )
à toi pour le cercle trigo !
D'accord, non pas grave ne t'inquiete pas pour l'érreur ! je fais le cercle trigo !$
OK pour les autres corrections, j'en prendrais compte !
Quel imbécile !
Je voulais envoyer un lien d'un autre exercice, et j'ai posté le message que je devais mettre ici sur l'autre lien ! pffff
Voilà un copié/collé :
merci beaucoup sarriette !
Merci vraiment pour tout !
Si tu as envie j'ai encore posté un exo 
Sinon, merci quand même et sans doute à bientôt !
Bonne soirée !
fonctions et suites
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