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Equation barycentrique d'une droite parallèle à une autre

Posté par
Bastien51 02-07-20 à 17:30

Bonjour,

Pourriez-vous m'aider à établir la démonstration de la proposition suivante ?

Soit (D) une droite d'équation barycentrique aX+bY+cZ=0
Alors toutes les droites parallèles à (D) ont pour équation barycentrique aX+bY+cZ+t(a+b+c) avec t un réel

Je précise que je n'ai aucune notion de géométrie projective

Posté par
matheuxmatoure : Equation barycentrique d'une droite parallèle à une autre 02-07-20 à 17:41

bonjour

1 : déjà ce n'est pas une équation barycentrique mais une équation cartésienne
2 : la deuxième "équation" n'en est pas une car il manque le verbe "="
3 : je ne vois pas le rapport avec la géométrie projective
4 : on est dans 3 je présume ?

Posté par
matheuxmatoure : Equation barycentrique d'une droite parallèle à une autre 02-07-20 à 17:42

ah oui j'oubliais...

5 : ceci n'est pas une équation cartésienne de droite mais de plan dans 3

Posté par
luzakre : Equation barycentrique d'une droite parallèle à une autre 02-07-20 à 18:16

Ben si X,Y,Z sont des coordonnées barycentriques c'est bien une "équation barycentrique".

En géométrie projective du plan, il y a bien une correspondance entre droites du plan d'équation z=1 et plans de l'espace passant par l'origine.

Posté par
matheuxmatoure : Equation barycentrique d'une droite parallèle à une autre 02-07-20 à 18:25

alors je n'ai pas compris l'énoncé !

il aurait peut-être fallu un énoncé un peu moins sibyllin avec la définition des notations utilisées et le contexte précis !

Posté par
Bastien51re : Equation barycentrique d'une droite parallèle à une autre 02-07-20 à 20:32

Oui pardon j'ai été un peu rapide dans mon message

a,b et c sont des réels et X,Y,Z les inconnus
Je me place bien dans le plan affine pour donner les équations barycentriques.

Je ne sais pas vraiment si la géométrie projective joue un rôle mais au cas où, je voulais préciser  

Posté par
luzakre : Equation barycentrique d'une droite parallèle à une autre 03-07-20 à 08:24

Pour les coordonnées barycentriques on a besoin de trois points A,B,C non alignés et on utilisera le repère cartésien (C,\vec{CA},\vec{CB}.

Si les cordonnées cartésiennes de M sont x,y on a
\vec{CM}=x\vec{CA}+y\vec{CB} donc
(1-x-y)\vec{CM}=x\vec{MA}+y\vec{MB} et on a un système de coordonnées barycentriques (dit normalisé) (x,y,1-x-y).

Inversement, si (X,Y,Z) est un système (pas nécessairement normalisé) de M ses coordonnées cartésiennes seront \dfrac X{X+Y+Z},\dfrac Y{X+y+Z}.

Si M décrit une droite de vecteur directeur (u,v) l'équation cartésienne est vx-uy+k=0 soit (v+k)X-(u-k)Y+kZ=0 qui est bien de la forme aX+bY+cZ=0.
A noter que a=v+k,\,b=-u+k,\,c=k et v=a-c,u=c-b et a=b=c\implies v=u=0 donc il faut (a,b,c)\notin\R(1,1,1).

Inversement, si a,b,c sont des réels que  (a,b,c)\notin\R(1,1,1) les points dont les coordonnées barycentriques (X,Y,Z) vérifient l'équation aX+bY+cZ=0 sont sur une droite de vecteur directeur (c-b,a-c).

1. Soient aX+bY+cZ=0,\;a'X+b'Y+c'Z=0 les équations de deux droites. Elles seront parallèles si et seulement si existe un réel non nul q tel que c'-b'=q(c-b),\;a'-c'=q(a-c).
On peut résoudre en fonction de c' par b'=c'-qc+qb,\;a'=c'+qa-qc et en posant t=c'-qc on a les expressions symétriques:
a'=qa+t,\;b'=qb+t,\;c'=qc+t.

La formule de l'énoncé est certainement fausse (ou alors il faut ajouter beaucoup de choses) et je pense qu'il s'agit d'une mauvaise copie de a+b+c à la place de X+Y+Z
Si j'ai raison, en remarquant qu'on obtient la même droite en multipliant les coefficients par un réel non nul, j'ai obtenu les formules :
\dfrac{a'}q=a+t',\;\dfrac{b'}q=b+t',\;\dfrac{c'}q=c+t'
qui sont bien celles de l'énoncé rectifié.

2. Autre point de vue.
En partant des équations précédentes, le système est de rang 2 (sinon les droites sont confondues) et peut être résolu (à constante multiplicative près) par les formules de Cramer :
X=\begin{vmatrix} b &b' \\c &c' \end{vmatrix},\quad Y=\begin{vmatrix} c &c' \\a &a' \end{vmatrix},\quad Z=\begin{vmatrix} a &ba \\b &b' \end{vmatrix}.

Mais des droites parallèles ne pouvant avoir de point commun il est nécessaire que la somme de ces réels soit nulle.
Pour retrouver les résultats de 1. il suffit de remarquer que la somme indiquée n'est autre que le déterminant
\begin{vmatrix} a &b &c \\a' &b' &c' \\1 &1 &1 \end{vmatrix} (on a développé selon la dernière ligne).
Comme les lignes 1 et 3. ne sont pas colinéaires il en résulte que la deuxième ligne est combinaison linéaire des deux autres. D'où l'existence des réels q,t tels que (a',b',c')=q(a,b,c)+t(1,1,1) ...

3.A strictement parler, en géométrie il n'y a pas de "droites parallèles" : il faudrait introduire une droite de l'infini.

Il me semble (mais ce serait long) qu'on doit poouvoir justifier qu'on peut utiliser les coordonnées barycentriques (???) en tant que coordonnées dans le plan projectif.
Dans ce cas la droite de l'infini aurait pour équation X+Y+Z=0 (oui, juste celle qu'on a interdit de séjour dans les calculs de géométrie affine).

Dans ce cas le parallélisme des deux droites s'interprète par l'existence d'un point commun aux droite d'équation
aX+bY+cZ=0,\;a'X+b'Y+c'Z=0,\;X+Y+Z=0
Le système homogène doit alors avoir une solution non triviale ce qui exige la nullité du déterminant. Quelle chance, c'est justement le déterminant de la question précédente !
"on tourne en rond, merde ! (ter)".

malou edit > Ltx corrigé

Posté par
luzakre : Equation barycentrique d'une droite parallèle à une autre 03-07-20 à 08:34

Corrections :
Inversement, si (X,Y,Z) est un système (pas nécessairement normalisé) de M ses coordonnées cartésiennes seront \dfrac X{X+Y+Z},\dfrac Y{X+Y+Z}.

......................................................
En partant des équations précédentes, le système est de rang 2 (sinon les droites sont confondues) et peut être résolu (à constante multiplicative près) par les formules de Cramer :
X=\begin{vmatrix} b &b' \\c &c' \end{vmatrix},\quad Y=\begin{vmatrix} c &c' \\a &a' \end{vmatrix},\quad Z=\begin{vmatrix} a &a' \\b &b' \end{vmatrix}.

..........................................
... en géométrie projective, il n'y a pas de droites parallèles....

Posté par
Bastien51re : Equation barycentrique d'une droite parallèle à une autre 03-07-20 à 22:00

Je crois que c'est la meilleure réponse qu'on m'ait jamais donné
Merci beaucoup luzak, je n'ai pas encore eu le temps de bien tout lire mais un gros merci à toi pour avoir pris le temps de rédiger cette énorme réponse.
Et oui, honte à moi je m'étais trompé dans l'énoncé ! C'était bien X, Y et Z et non a,b et c !

J'avais lu dans un livre (géométrie analytique classique de Jean-Denis Eiden) que l'équation X+Y+Z = 0 était utilisée pour la démonstration, ce qui m'avait poussé à croire que la géométrie projective était utilisée car comme tu l'as dit, cette équation était interdite en géométrie affine ^^

J'en profite pour demander si vous auriez des bons livres ou pdf de géométrie projective à conseiller pour un total débutant ?


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