Niveau Maths sup

equation cartésienne d'un hyperplan

Posté par
prdox 12-08-20 à 23:31

Bonjour,

J'ai deux vecteurs de taille $n \geq 4$
et qui pour $x \neq 0$ sont

$u = \begin{pmatrix} cos(x*ln(2)) \\ cos(x*ln(3)) \\ cos(x*ln(4)) \\ cos(x*ln(5)) \\ ... \\ ... \\ cos(x*ln(n) )\end{pmatrix}$ et   $v = \begin{pmatrix} sin(x*ln(2)) \\ sin(x*ln(3)) \\ sin(x*ln(4)) \\ sin(x*ln(5)) \\ ... \\ ... \\ sin(x*ln(n) )\end{pmatrix}$

On montre assez facilement que pour $n \geq 4$ ces vecteurs sont non nuls et non colinéaires, la clé réside dans le fait que x soit différent de 0 et que 2 et 3 sont des nombres premiers entre eux ainsi il est impossible d'avoir

$u = \begin{pmatrix} cos(x*ln(2)) \\ cos(x*ln(3)) \\ cos(x*ln(4)) \end{pmatrix} = 0$ ni   $v = \begin{pmatrix} sin(x*ln(2)) \\ sin(x*ln(3)) \\ sin(x*ln(4)) \end{pmatrix} = 0$

et il est impossible de trouver lambda réel non nul tel que

$\begin{pmatrix} cos(x*ln(2)) \\ cos(x*ln(3)) \\ cos(x*ln(4)) \end{pmatrix} = \lambda  * \begin{pmatrix} sin(x*ln(2)) \\ sin(x*ln(3)) \\ sin(x*ln(4)) \end{pmatrix}$

Le raisonnement fait pour n = 4 reste valable quelque soit n > 4

Ces deux vecteurs u et v forment donc un hyperplan P dont les éléments sont des  combinaisons linéaires des 2 vecteurs, c'est a dire qu'il éxiste alpha et beta tel que

$X \in P \Rightarrow   \exists (\alpha,\beta) \in R^2,  X = \alpha * u + \beta * v$

ma question est comment trouver une équation cartésienne de cet hyperplan, une équation du type  si

$X = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\  ... \\ ... \\ x_n  \end{pmatrix}  \in P \Rightarrow a_2 * x_2 + a_3 * x_3 + a_4 * x_4 + ... + a_n*x_n + b = 0$

mon soucis est de trouver les coéfficient $a_k$ pour k de 2 à n, je pense que b vaut zero car l'hyperplan passe par 0,

pour n = 4 c'est assez simple il suffit de calculer le produit vectoriel de u et v on trouve un vecteur normal au plan qui nous donne l'équation cartésienne du plan mais comment faire pour $n\geq 5$

Pouvez vous m'aider ??? merci d'avance pour votre aide.

Posté par re : equation cartésienne d'un hyperplan 13-08-20 à 08:19

Bonjour !
Deux vecteurs non colinéaires forment un plan vectoriel (ce serait un hyperplan seulement si $n=3$ ).

Il n'y a pas UNE équation cartésienne pour ce plan en dimension supérieure à 4 mais plutôt un système de plusieurs équations, $n-2$ équations en fait.

De plus, pour $n=4$ le produit vectoriel n'est pas un vecteur mais une application 3-linéaire alternée...

Posté par re : equation cartésienne d'un hyperplan 13-08-20 à 09:19

Merci pour ces informations , j'ai écrit quelque chose de faux mes vecteurs sont de taille n-1 >= 3 (et non n >= 4 ).

je pars donc du systeme d'équation :

$X= \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ ... \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} = \alpha * \begin{pmatrix} cos(x*ln(2)) \\ cos(x*ln(3)) \\ cos(x*ln(4)) \\ ... \\ ... \\ cos(x*ln(n)) \end{pmatrix} + \beta * \begin{pmatrix} sin(x*ln(2)) \\ sin(x*ln(3)) \\ sin(x*ln(4)) \\ ... \\ ... \\ sin(x*ln(n)) \end{pmatrix}$

Je cherche a éliminé alpha et beta,

j'obtiens

$x_2 = \alpha * cos(x*ln(2))+ \beta *sin(x*ln(2)) \\ x_3 = \alpha * cos(x*ln(3))+ \beta *sin(x*ln(3))$

puis

$cos(x*ln(3)) *x_2 = \alpha * cos(x*ln(2))*cos(x*ln(3))+ \beta *sin(x*ln(2))*cos(x*ln(3)) \\ cos(x*ln(2))*x_3 = \alpha * cos(x*ln(3))*cos(x*ln(2))+ \beta *sin(x*ln(3))*cos(x*ln(2))$

puis

$cos(x*ln(3)) *x_2 - cos(x*ln(2))*x_3= \beta *sin(x*ln(2/3))$

de même

$cos(x*ln(4)) *x_2 - cos(x*ln(2))*x_4= \beta *sin(x*ln(2/4))$

d'ou

$sin(x*ln(2/4))*(cos(x*ln(3))*x_2 - cos(x*ln(2))*x_3)=sin(x*ln(2/3))*(cos(x*ln(4))*x_2 - cos(x*ln(2))*x_4)$

et de même
$sin(x*ln(3))*x_2 - sin(x*ln(2))*x_3=\alpha*sin(x*ln(3/2)) \\ sin(x*ln(4))*x_2 - sin(x*ln(2))*x_4=\alpha*sin(x*ln(4/2)$

d'ou

$sin(x*ln(4/2)*(sin(x*ln(3))*x_2 - sin(x*ln(2))*x_3)= sin(x*ln(3/2)) *(sin(x*ln(4))*x_2 - sin(x*ln(2))*x_4)$

en faisant la même chose pour chaque x_k j'obtiens le systeme d'equations recherché . Est ce bien comme ca qu(il faut procéder ?

Posté par re : equation cartésienne d'un hyperplan 13-08-20 à 09:30

j'ai fait une erreur c'est

$cos(x*ln(3))*x_2 - cos(x*ln(2))*x_3= \beta * sin(x*ln(6)) \\ et cos(x*ln(4))*x_2 - cos(x*ln(2))*x_4= \beta * sin(x*ln(8))$

le reste du raisonnement restant le même à cette erreur de calcul pres

Posté par re : equation cartésienne d'un hyperplan 13-08-20 à 09:35

mea culpa finalement c'etait bon au début et c'est en me relisant que j'ai fait l"erreur

Posté par re : equation cartésienne d'un hyperplan 13-08-20 à 15:34

L'élimination de $\alpha,\beta$ fait perdre du temps.
Il est plus simple d'écrire tes relations $x_k=u_k+tv_k$ (bien entendu $u_k=\cos(x\ln(k)),\;v_k=\sin(x\ln(k))$ ) car on peut tout diviser par $\alpha$ : il suffit de repérer un coefficient $u_k$ non nul.

Et les relations à trouver deviennent plus simples :
$v_2x_k-v_kx_2=u_kv_2-u_2v_k,\;3\leq k\leq n$

Posté par re : equation cartésienne d'un hyperplan 13-08-20 à 15:59

J'ai peut-être été trop vite en "divisant par $\alpha$ ".

Il serait mieux de travailler avec trois équations :
$x_2=\alpha u_2+\beta v_2$
$x_3=\alpha u_3+\beta v_3$
$x_k=\alpha u_k\beta v_k,\;\;k\geq4$

L'élimination de $\alpha,\beta$ donne la relation
$\begin{vmatrix} x_2 &u_2 &v_2 \\ x_3 &u_3 &v_3 \\ x_k&u_k &v_k \end{vmatrix}=0$ et tu obtiens ainsi les $n-3$ équations cherchées.

(j'avais mis $n-2$ dans la première réponse parce que je croyais que tu étais en dimension $n$ . Tu es en fait en dimension $n-1$ )

Posté par re : equation cartésienne d'un hyperplan 13-08-20 à 22:30

Bonjour
juste une remarque de forme : le symbole "multiplié par", $\times$ , s'obtient en $\LaTeX$ par la commande \times (comme "fois", qui horripilait tellement ma prof de maths sup qu'elle répétait "foie, intestin , estomac" ....)

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