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Equation d'une droite dans l'espace

Posté par
nakahira 31-10-19 à 23:26

Bonjour,
je suis face à une question qui me laisse un peu perplexe : "Déterminer les équations de la droite passant par c=(x_c,y_c,z_c)^T et x_0 = (x_0, y_0, z_0)^T sous la forme d'un système de deux équations linéaires."

Dans la tête, relier deux points de l'espace semble assez facile, mais sur le papier je ne vois pas du tout comment faire. J'ai pensé que la droite pourrait être considérée comme l'intersection de deux plans (les 2 équations linéaires correspondraient alors aux 2 équations des plans). Mais pour moi, pour construire un plan, il faut un point ET un vecteur normal. Donc je pense que mon énoncé est incomplet.

Pensez-vous que je me trompe ?

Merci et bonne soirée,

nakahira

Posté par
lafol Moderateurre : Equation d'une droite dans l'espace 31-10-19 à 23:30

Bonjour
tu peux dire que M appartient à la droite (cx_0) si et seulement si les vecteurs \vec{cM} et \vec{cx_0} sont colinéaires ....

Posté par
jsvdbre : Equation d'une droite dans l'espace 31-10-19 à 23:32

Salut nakahira.

\vec {cx} est un vecteur directeur de ta droite et donc tu peux facilement en trouver deux vecteurs normaux qui seront donc des vecteurs normaux aux deux plans que tu cherches.

Posté par
nakahirare : Equation d'une droite dans l'espace 31-10-19 à 23:52

Merci à vous deux !

J'ai trouvé deux équations linéaires grâce à vos méthodes.

Encore merci et bonne soirée à vous

nakahira

Posté par
nakahirare : Equation d'une droite dans l'espace 01-11-19 à 20:11

Bonsoir,
je reviens vers vous car j'ai l'impression de m'être trompé dans le calcul des équations linéaires de ma droite.
En effet, dans l'exercice complet je dispose d'un fonction f : \mathbb{R}^2\mapsto \mathbb{R}.
A la première question, on me demande de faire ce que j'ai dit dans mon premier poste : déterminer l'équation de la droite D passant par les points \mathbf{c} et \mathbf{x_0}.

En suivant vos indications, j'ai trouvé que M(x',y',z')^T \in D ssi (y_0-y_c)(x'-x_c)+(x_c-x_0)(y'-y_c)=0 et (z_0-z_c)(y'-y_c)+(y_c-y_0)(z'-z_c)=0;

Sauf qu'après, on me demande de trouver les points d'intersection entre la droite passant par \mathbf{c} et \mathbf{x} où \mathbf{x}\in \mathbb{R}^2 et la surface z=f(\mathbf{x}). ( f est une fonction pas très jolie et la résolution du système à trouver se fait à l'ordinateur par la méthode de Newton donc je n'explicite pas f).

J'ai posé \mathbf{x}=(x,y,0)^T pour qu'il reste un vecteur de \mathbb{R}^2
J'ai donc réécris l'équation de ma droite D en remplaçant \mathbf{x_0} par \mathbf{x} à savoir (x_0,y_0,z_0)=(x,y,0) ce qui me donne les deux équations suivantes pour la droite passant par les points \mathbf{x} et \mathbf{c} : M(x',y',z')^T \in D ssi (y-y_c)x'+(x_c-x)y'+xy_c-yx_c=0 et -z_cy'+(y_c-y)z'+yz_c-zy_c=0.

Ensuite la surface z'=f(\mathbf{x})=f((x,y)^T) coupe D ssi x=x', y=y' et z'=f((x',y')^T)=f((x,y)^T). Sauf qu'ensuite mes deux équations de la droite me donnent 0=0 (ce qui est vrai) mais je me retrouve seulement avec l'équation z=f((x,y)^T) ce qui ne fait plus intervenir la droite D passant par \mathbf{x} et \mathbf{c} et je n'ai plus un système d'équations permettant de déterminer les points d'intersection.

Je voulais donc savoir si j'ai mal déterminé les équations de ma droite (mais je ne vois pas où je me serai trompé) ou bien si je raisonne mal pour trouver les points d'intersection, ce qui est un autre problème !

Merci et bonne soirée,

nakahira

Posté par
lafol Moderateurre : Equation d'une droite dans l'espace 01-11-19 à 21:03

peux-tu recopier ton énoncé exact et complet, à la lettre près, et pas ce que tu penses en avoir compris ? je ne connais pas de droite qui passe par un c de IR^3 et un x de IR²....


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