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Equation de cercle

Posté par Ordinary (invité) 01-05-05 à 14:43

Bonjour, j'ai quelques exercices sur le produit scalaire à faire, et je voudrais savoir si ce que j'ai fait est correct. Dites moi si je dois détailler certains calculs, car je n'ai mis que mon résultat pour faire plus court.
Il y a certaines questions que je n'arrive pas, j'espère que quelqu'un pourra m'aider..

Merci d'avance, Ordinary

_______________

Exercice 1

a) Démontrer que l'équation x²+y²-2x-2y-18=0 est celle d'un cercle C. Déterminer les coordonnées de son centre et de son rayon.

Je trouve :  y=(x-1)²+(y-1)² = 20
Donc (-1;-1) et R = 20

b) Déterminer une équation de la tangente en A(3;5) et en B(5;-1) au cercle C

Je trouve :
En A : (T) a pour équation  4x+6y-42 = 0
En B : (T) a pour équation 6x-5 = 0

c) Soit T le point d'intersection de ces 2 tangentes. Calculer les distances TA et TB.

Je ne vois pas comment faire cela. Pourriez vous m'aider?

________________

Exercice 2

Soit les vecteurs et et les 3 points A, B et C tels que = AB (vecteur) et = AC (vecteur)
On suppose que |||| = AB = 5
               |||| = AC = 4
               L'angle BAC = 60°

a) Calculer les normes :

1/ ||+||
Je trouve : 61

2/ ||-2||
Je trouve : 9 = 3

b) Soit D et E les points définis par :
   + = Vecteur AD
   et -2 = Vecteur AE

   Déterminer les mesures des angles BAD et BAE.

Je cale sur la question b), j'espère que quelqun pourra m'aider.

Posté par
Nightmarere : Equation de cercle 01-05-05 à 14:46

Bonjour

Pour le c) de l'ex 1

Il te suffit de trouver les coordonnées de T puis de calculer la distance avec la formule simple :
AT=\sqrt{(x_{a}-x_{t})^{2}+(y_{a}-y_{t})^{2}}

Pour l'exercice 2 ne m'étant pas réellement penché sur le sujet je dirais à premiere vu que tu devrais t'en sortir en utilisant le produit scalaire .


jord

Posté par dolphie (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 14:51

salut,

exercice 1
a) ne mets pas y=...=20, ca ne veut rien dire; laisse l'équation (x-1)²+(y-1)²=20.

erreur pour le centre....
l'équation du cercle de centre A(a,b) et de rayon c a pour équation:
(x-a)²+(y-b)²=c²
donc ici \Omega(<b>1</b>,<b>1</b>). rayon OK.

b) les équations sont donc a revoir...

Posté par dolphie (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 14:54

exercice 2...

les premières normes sont fausses, comment as-tu calculé?

Posté par Ordinary (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 14:59

Nightmare : Comment est ce que je dois faire pour calculer les coordonnées de T? En utilisant les 2 équations de (T) (Que je vais recalculer), je ne vois pas trop.
Pour l'exercice 2, oui c'est avec le produit scalaire mais j'aimerai avoir confirmation de mes 2 résultats du a)

Dolphie : D'accord pour le centre, c'est pour ça que je trouvais des résultats peu cohérents ensuite. Je vais recalculer les équations de droite.


Merci pour vos réponses!
Ordinary

Posté par dolphie (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 15:03

excuse,

||\vec{u}+\vec{v}||^2=61

||\vec{u}-2\vec{v}||^2=||\vec{u}||^2+4||\vec{v}||^2-4\vec{u}.\vec{v}
or \vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{v}||cos(60°)=10
d'ou:
||\vec{u}-2\vec{v}||^2=49...



Posté par
Nightmarere : Equation de cercle 01-05-05 à 15:03

Re

Oui en effet , tu peux calculer les coordonnées de T en résolvant le systéme d'équation engendré par les deux équations de tes tangentes


Jord

Posté par dolphie (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 15:04

exercice 1: c)oui, une fois que tu as les bonnes équations détermine l'intersection....tu aras les coordonnées de T, puis calcule les distances.

Posté par Ordinary (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 15:05

Pour l'exercice 2 justement je ne sais pas trop comment les calculer.
J'ai fait :

a)||+ ||

||+ ||²
=||||²+||||²+ 2.
=||AB||²+||AC||²+ 2(ABACcos BAC)
=5²+4²+ 2(54cos 60)
=61

D'ou ||+ || = 61

Posté par Ordinary (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 15:09

Pour le b) de l'ex 2
j'ai :

=||||² + ||||² - 2 (.2)
=5²-2(524) + 2||4||²
=5²-2(40)+8²
=9

Posté par dolphie (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 15:10

exercice 2 b)

tu remarques ABCD parallèlogramme.
\vec{AB}.\vec{AD}=AB\times AD\times cos(BAD)
AB=5
AD = 9 (d'après a)

et \vec{u}.(\vec{u}+\vec{v})=||\vec{u}||^2+\vec{u}.\vec{v}=25+10=35
on en déduit:
35 = 5\times 9 cos(BAD)
cos(BAD)=\frac{7}{9} =39°.

de même pour BAE

Posté par dolphie (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 15:12

Ah non!

\vec{u}.\vec{v}||\vec{u}||.||\vec{v}||

Posté par Ordinary (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 15:18

J'ai un peu de mal là, en fait la solution de la 2ème norme est 49, mais je ne vois pas comment arriver à ce que tu m'as mis plus haut dans ton 3eme message, pour obtenir ce résultat.

Posté par dolphie (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 15:29

par définition:
\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{v}||.cos(\vec{u},\vec{v})
ici:\vec{u}.\vec{v}=5\times 4\times cos(60)=20\times \frac{1}{2}=10

||\vec{u}-2\vec{v}||^2=(\vec{u}-2\vec{v}).(\vec{u}-2\vec{v})=\vec{u}.\vec{u}-4\vec{u}.\vec{v}+4\vec{v}.\vec{v}=||\vec{u}||^2-4\vec{u}.\vec{v}+4||\vec{v}||

||\vec{u}-2\vec{v}||^2=25-4\times 10+4\times 16

d'ou: ||\vec{u}-2\vec{v}||=7


Posté par Ordinary (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 15:37

Ca y est, j'ai compris!
Merci pour la réponse détaillée.

Par contre, dans l'ex 2 b), quand tu m'a expliqué comment calculer l'angle BAD, comment calcules-tu AD = 9 ?


(Merci pour ta patience..)

Posté par dolphie (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 15:41

et bien c tt simple:
\vec{AD}=\vec{u}+\vec{v}
donc AD=||\vec{u}+\vec{v}|| (calcul du a)...)

Posté par Ordinary (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 15:47

Donc AD = 61 et non 9?

Posté par dolphie (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 15:48

euh oui....c'est bien ca!

Posté par Ordinary (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 15:58

Pour le b) on trouve alors :

cos BAD = (vec AB).(vec AD)
          ________________
                 ABAD


cos BAD = 25+10
            _________
            561

d'ou BAD = 26.32°

C'est ça?

Je vais essayer maintenant BAE..

Posté par Ordinary (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 16:09

Ca y est...Ouf je souffle un peu.
J'ai trouvé BAE = 81,7°


J'ai aussi refais les 2 équations de tangentes de l'exercice 1, et je trouve maintenant :
En A : (T) 2x+4y-26 = 0
En B : (T) 4x-2y-22 = 0

Posté par dolphie (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 16:15

exercice 1
les deux équation de tangente sont correctes.

maintenant reste à trouver les coordonnées de T (résolution du système). tu dois trouver T(7,3)
TA = TB=\sqrt{20}

exercice 2
L'angle BAE me parait correct.

Posté par Ordinary (invité)re : Equation de cercle 01-05-05 à 16:25

C'est bon j'ai trouvé T(7;3) grâce au système proposé par Nightmare plus haut.

Et j'ai calculé les distances TA et TB avec la formule :


(xA-xT)² + (yA-yT)²

Enfin terminé! Je ne pensais pas m'en sortir de ces 2 exercices.
Merci beaucoup pour les explications et le temps passé.

@+! Ordinary


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