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équation de la tangente à un cercle

Posté par
sgu35
14-05-20 à 15:20

Bonjour,
j'aimerais des précisions sur une propriété de cours :
On donne un cercle C de centre \Omega, et un point H sur C. On note T_H la tangente à C en H.
Le cercle C est donné par la représentation paramétrique :
C : \begin{cases}x=a+R cos(\theta)
 \\ y=b+R sin(\theta) , \theta \in \R
 \\ \end{cases}
et H est le point de C de paramètre \theta. Par définition, on peut prendre pour vecteur normal de T_H tout vecteur colinéaire à \vec{\Omega H}, donc en particulier le vecteur \vec{u}(\theta)(cos(\theta),sin(\theta)). On obtient alors directement l'équation de T_H sous forme normale :
T_H : x cos(\theta)+y sin(\theta)=a cos(\theta)+b sin(\theta)+R
Comment trouve-t-on cette équation?

Posté par
sgu35
re : équation de la tangente à un cercle 14-05-20 à 15:28

j'ai trouvé l'équation en question et je voudrais maintenant savoir pourquoi la valeur absolue de : a cos(\theta) +b sin(\theta)+R représente la distance de O à T_H

Posté par
Glapion Moderateur
re : équation de la tangente à un cercle 14-05-20 à 15:31

Bonjour, déjà on sait qu'une équation de droite sous la forme ax+by+c = 0 (a;b) est un vecteur normal, donc ici puisqu'on sait que (cos ; sin ) est un vecteur normal on peut déjà écrire que l'équation aura la forme

x cos + y sin = c

ensuite on sait que le point H(a+R cos ; b + R sin ) est sur la droite ce qui permet de trouver
c = (a+R cos )cos + (b + R sin ) sin = R + a cos + b sin

Posté par
Glapion Moderateur
re : équation de la tangente à un cercle 14-05-20 à 15:32

Tu te rappelles la formule qui donne la distance d'un point à une droite ?

Posté par
sgu35
re : équation de la tangente à un cercle 16-05-20 à 12:31

oui : si une équation d'une droite D est de la forme x cos\phi + y sin\phi -p=0 alors la valeur absolue de p est égal à la distance de O à D. C'est une propriété de cours.
Or ici p=R+a cos\theta + b sin\theta, donc d(O,D)=|R+a cos\theta + b sin\theta|



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