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Niveau terminale
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equation differencielle

Posté par
ababo
24-01-12 à 18:26

Bonjour à tous j'ai un exercice de maths assez court à faire mais je ne sais pas vraiment comment le résoudre, je ne sais pas comment commencer, je viens donc solliciter votre aide . Bien entendu je ne suis pas à la recherche de réponse toutes faites, ce serait inutile.
Voici l'énoncé :

Partie A

On veut déterminer l'ensemble des fonctions numériques g, dérivables sur R, vérifiant pour tout réel x:

g'(x) - g(x) = x - (e - 2)/(e - 1) (1)

1) Determiner l'unique fonction affine g(indice 0) vérifiant (1)

2) On note h la fonction : h = g - g(indice 0)
Démontrer que g vérifie (1) si et seulement si h est solution de l'equation différencielle:
y' - y =0 (2)

3) Donner l'ensemble de solutions de l'equation différencielle (2) et en déduire l'ensemble des fonctions g vérifiant (1)
Determiner la fonction vérifiant (1) qui s'annule en 0


Partie B (indépendante de la A)

Soit f une fonction deux fois dérivable ( j'ignore ce que cela signifie) sur R. On suppose que f(0)=5, f'(0)=-3 et pour tout réel x:
f'(x)+ f''(x)= -2(sinx+cosx)

1) Résoudre sur R en posant z=y' l'equation différencielle ( E) : y'+y''=0

2) Determiner les constantes a et b telles que la fonction g définie sur R par g(x)=acosx+bcosx vérifie pour tout réel x:
g'(x) + g"(x) = -2(sinx+cosx)

3) Démontrer que f est solution de l'equation différencielle y'+y" = -2(sinx+cosx) si et seulement si f - g est solution de (E)

4) En déduire f

Merci d'avance !

Posté par
Labo
re : equation differencielle 24-01-12 à 18:34

Bonsoir,

1) Determiner l'unique fonction affine g(indice 0) vérifiant (1)
g_0=ax+b
elle doit vérifier

Citation :
g'(x) - g(x) = x - (e - 2)/(e - 1) (1)

g'_0(x)=....
tu détermines
g'(x) - g(x)=....
  
tu identifies a et b

Posté par
ababo
equation differencielle 24-01-12 à 19:45

bonsoir Labo merci de votre passage

On pose g0(x) = ax+b et g'0(x)= a
on remplace dans (1)
g'(x) - g(x) = x - (e - 2)/(e - 1)

=> a -ax-b = x - (e - 2)/(e - 1)

je sais qu'on trouve a=-1 et b= (-1)/(e-1)

et donc l'unique fonction affine g(indice 0) vérifiant (1) est g0 = -1x + (-1)/(e-1)

mais je n'arrive pas à developper

Posté par
Labo
re : equation differencielle 24-01-12 à 20:59

erreur pour b
a-b=-\frac{e-2}{e-1}
 \\ b=-1+\frac{e-2}{e-1}=\frac{-1}{e-1}=\frac{1}{1-e}
g_0(x)=-x+\frac{1}{1-e}
2)
tu détermines h'(x)-h(x)

Posté par
ababo
equation differencielle 24-01-12 à 21:07

d'accord merci
peux tu m'aider à développer pour la question 1 pour trouver a et b

2) :
on a h = g-g0
donc h(x)= g(x) - g0(x)
donc h'(x)-h(x)= g'(x) - g'0(x)- ( g(x) - g0(x))

et on doit avoir h'(x)-h(x)= 0 ?

Posté par
Labo
re : equation differencielle 24-01-12 à 21:14

et on doit avoir h'(x)-h(x)= 0 ?
non puisque h doit vérifier (1)
h'(x)-h(x)=g'(x) - g'0(x)- ( g(x) - g0(x))
=x - (e - 2)/(e - 1)
or g'0(x)-g0(x)=x - (e - 2)/(e - 1)
d'où...

Posté par
ababo
equation differencielle 24-01-12 à 21:22

h'(x)-h(x)=g'(x) - g'0(x)- ( g(x) - g0(x)) = x - (e - 2)/(e - 1)
or g'0(x)-g0(x)=x - (e - 2)/(e - 1)

d'où h vérifie (1) ?

Posté par
ababo
equation differencielle 24-01-12 à 21:24

ah nan pardon, d'où h vérifie y'-y=0 ?

Posté par
Labo
re : equation differencielle 24-01-12 à 21:46

h vérifie y'-y=0 OUI
maintenant
il faut déterminer h

Posté par
argthyj
héhé 24-01-12 à 21:48

Dit moi, je pense que t'es en Terminale S4, professeur, monsieur le Bars, c'est ça ou je me trompe ?

Posté par
ababo
equation differencielle 24-01-12 à 21:54

on nous dit que h= g-g0
h(x) = g(x) - g0(x)
et ensuite ?

Posté par
Labo
re : equation differencielle 24-01-12 à 21:58

  3

Citation :
nous dit que h= g-g0

cela  me permet de déterminer g=h+g0
il faut trouver h sachant que h vérifie (2)
y'-y=0
c'est du cours ...
h(x)=......

Posté par
ababo
equation differencielle 24-01-12 à 22:07

si h vérifie (2)
on a h'(x)-h(x)=0
on a donc h(x)= h'(x)
donc h(x) = g'(x)- g'0(x)
?

Posté par
Labo
re : equation differencielle 24-01-12 à 22:11

NON
h'(x)-h(x)=0
h'(x)=h(x)
quelle est cette fonction ?

Posté par
Labo
re : equation differencielle 24-01-12 à 22:12

plutôt quelles sont ces fonctions?

Posté par
ababo
equation differencielle 24-01-12 à 22:13

c'est une equation differencielle de type y'=y

Posté par
Labo
re : equation differencielle 24-01-12 à 22:16

quelle est la dérivée de Ce^x?

Posté par
ababo
equation differencielle 24-01-12 à 22:19

ben c'est Ce(x)?

Posté par
Labo
re : equation differencielle 24-01-12 à 22:28

==>
Ce^x-(Ce^x)=..
h(x)=???

Posté par
ababo
equation differencielle 24-01-12 à 22:55

je comprends rien c'est affreux

Posté par
Labo
re : equation differencielle 24-01-12 à 23:12

les fonctions :
h(x)=Ce^x
toutes ces fonctions vérifient
h'(x)-h(x)=0
tu peux vérifier
(Ce^x)'-Ce^x=0

Posté par
ababo
equation differencielle 24-01-12 à 23:27

Merci labo
êtes vous d'accord pour faire la suite ?

Posté par
Labo
re : equation differencielle 24-01-12 à 23:44

OUI  
tu as compris pour h?

Posté par
ababo
equation differencielle 24-01-12 à 23:47

oui je pense avoir compris
passons à la question 3)

Posté par
Labo
re : equation differencielle 24-01-12 à 23:54

3)  en déduire l'ensemble des fonctions g vérifiant (1)
Determiner la fonction vérifiant (1) qui s'annule en 0
d'après 2 :
l'ensemble des fonctions g sont solutions de (1)
\ si \ h(x)=C(e^x) \ or \ h(x)=g(x)-g_0(x)
 \\  g(x) =h(x)+g_(0)(x)
 \\  g(x)=C(e^x)+g_0(x)

tu remplaces g_0(x) par l'expression trouvée et tu détermines C
en calculant
g(0)=Ce^0+g_0(0)=0
C=...

Posté par
ababo
equation differencielle 25-01-12 à 00:06

g(x)= Ce^x -x + 1/(1-e)
g(0)= Ce^0 -x + 1/(1-e)=0
donc C = + x -(1/(1-e))?

Posté par
Labo
re : equation differencielle 25-01-12 à 00:09

g(0)= Ce^0 \red -x + 1/(1-e)=0
donc C =  -(1/(1-e))=\frac{1}{e-1} je corrige ,j'enlève le x
\red   \mais x=0

Posté par
Labo
re : equation differencielle 25-01-12 à 00:13

partie B)

Citation :
Soit f une fonction deux fois dérivable

   cela signifie que l'on peut déterminer la dérivée de la dérivée de la fonction
exemple
(ax2)'=2ax
et (2ax)'=2a

Posté par
ababo
equation differencielle 25-01-12 à 00:18

d'accord je comprends le calcul et la definition que vous m'avez donné
mais pour le calcul, cela répond à quelle question de la 3) ?

Posté par
Labo
re : equation differencielle 25-01-12 à 00:22

ce n'est qu'un exemple de fonction deux fois dérivable

Citation :
1) Résoudre sur R en posant z=y' l'equation différencielle ( E) : y'+y''=0

z=y'
z'=...
z+z'=y'+....=0
y'=...
z=...

Posté par
ababo
equation differencielle 25-01-12 à 00:32

je parle du calcul de C, avec ceci comment on répond à la question 3) ?

B 1)
z= y'
z'= y"
z+z'= y'+ y" = 0
y'= - y"
z = - y" ?

Posté par
Labo
re : equation differencielle 25-01-12 à 00:37

Citation :
B 1)
z= y'
z'= y"
z+z'= y'+ y" = 0

OK
tu cherches toutes les fonctions telles que z+z'=0
z=-z' alors toutes ces fonctions sont
...

Posté par
ababo
equation differencielle 25-01-12 à 00:39

elles sont de la forme Ce^x ?

Posté par
Labo
re : equation differencielle 25-01-12 à 00:43

retour à la question 3 de la partie A
finalement:
g(x)=\frac{e^x}{e-1}-x+\frac{1}{1-e}

Posté par
Labo
re : equation differencielle 25-01-12 à 00:44

partie B 1)

Citation :
elles sont de la forme Ce^x ?

plutôt:
Ce^{-x}

Posté par
ababo
equation differencielle 25-01-12 à 00:48

ah oui en effet
donc on a répondu à la question ?

Posté par
Labo
re : equation differencielle 25-01-12 à 00:53

OUI partie B 1)
partie B2)

Citation :
2) Determiner les constantes a et b telles que la fonction g définie sur R par g(x)=acosx+bcosx vérifie pour tout réel x:
g'(x) + g"(x) = -2(sinx+cosx)

g'(x)=......
g"(x)=......
g'(x)+g"(x)=......=-2(sinx+cosx)
je dois quitter l'île  de retour dans l'après-midi de ce mercredi.

Posté par
ababo
equation differencielle 25-01-12 à 00:55

merci pour tout Labo !
a demain

Posté par
ababo
equation differencielle 25-01-12 à 01:02

g(x)=acosx+bcosx

g'(x)= -2sinx
g"(x)= -2cosx
g'(x)+g"(x)= -2sinx -2cosx =-2(sinx+cosx)

Posté par
ababo
equation differencielle 25-01-12 à 01:48

B 2)
en fait c'est
g(x)=acosx +bcosx
g'(x)=-asinx-bsinx
g"(x)=-acosx-bcosx
g'(x)+g"(x)= -asinx-bsinx -acosx-bcosx= -2(sinx+cosx)

-asinx-bsinx-acosx-bcosx=-2(sinx+cosx) d'ou (-a-b)(sinx+cosx)=-2(sinx+cosx)
Par identification :
-a-b=-2
d'ou a+b=2
donc b=2-a
On remplace :
g(x)=acosx +(2-a)cosx donc g(x)=2cosx.
donc a et b sont égaux a=b=1

Posté par
ababo
equation differencielle 25-01-12 à 01:49

B 4) c'est ceci :
on en déduit que f(x) = 2cosx

Posté par
Labo
re : equation differencielle 25-01-12 à 10:34

attention f(x)=Ce^{-x}+2cos(x)
comme f(0)=5 et f'(0)=-3
f(x)=3e^{-x}+2cos(x)

Posté par
Labo
re : equation differencielle 25-01-12 à 17:46

pour la rédaction  concernant les équations différentielles ,tu peux consulter les fiches de l'île
clique en bas du cadre...

Posté par
ababo
equation differencielle 25-01-12 à 21:43

ah mince j'avais pas vu ca
ben j'ai déjà rendu mon devoir en fait mais merci labo, merci beaucoup
bonne continuation!

Posté par
Labo
re : equation differencielle 25-01-12 à 21:48



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