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Équation différencielle et méthode d'Euler

Posté par
keveto
31-10-11 à 14:30

Bonjour à tous,

Je me permet de solliciter votre aide pour un exercice de math sur lequel je bloque complètement car je n'ai pas encore vu ceci concrètement en cours..

Voici le sujet :

Soit une l'équation différentielle xy' = 2y + 2 avec la condition initiale y(1) = 1.
On considère une fonction f solution de cette équation différentielle.

Calculer grâce à la méthode d'Euler avec un pas de 0,5 les approximations de f(x) et f'(x).

C'est ici que je bloque car je ne vois pas comment utiliser la méthode d'Euler avec une équation de ce type..

Merci d'avance pour votre aide!

PS : veuillez excuser d'éventuelles fautes d'orthographes et/ou de présentation car je suis sur mon portable et je ne vois pas toujours clairement ce que j'écris.

Posté par
cailloux Correcteur
re : Équation différencielle et méthode d'Euler 31-10-11 à 23:44

Bonsoir,

On détermine une suite de points M_n(x_n,y_n):

x_{n+1}=x_n+hh est le pas donné.

y_{n+1}=f(x_{n+1})=f(x_n+h)\approx f(x_n)+hf'(x_n) avec l' approximation affine de f au voisinage de x_n

y_{n+1}=y_n+hf'(x_n)

Or ici f'(x)=\dfrac{2}{x}\,f(x)+\dfrac{2}{x}

donc f'(x_n)=\dfrac{2}{x_n}\,y_n+\dfrac{2}{x_n}

et avec h=0.5, on obtient:

y_{n+1}=y_n+\dfrac{1}{x_n}\,y_n+\dfrac{1}{x_n}

On a donc notre suite de points déterminée par:

\begin{cases}x_{n+1}=x_n+0.5\\y_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{x_n}\right)y_n+\dfrac{1}{x_n}\end{cases} avec \begin{cases}x_0=1\\y_0=1\end{cases}

Posté par
keveto
re : Équation différencielle et méthode d'Euler 01-11-11 à 00:33

Merci beaucoup cailloux pour cette réponse des plus complètes mais j'avoue ne pas tout comprendre ... parce que les x0 et y0 trouvés à la fin correspondent à quoi concrètement ? On doit remplacer ceux de l'équation différentielle par eux ? Ou alors ils correspondent aux points de f(x) ou f'(x) ?

Désolé si je pose des questions idiotes mais je suis vraiment perdu :/

Posté par
cailloux Correcteur
re : Équation différencielle et méthode d'Euler 01-11-11 à 01:03

L' énoncé indique y(1)=1 qui correspond au premier point M_0(x_0,y_0) de la courbe avec x_0=1 et y_0=1

Ensuite on peut calculer de proche en proche x_1,y_1,x_2,y_2\cdots

x_1=1.5

y_1=\left(1+\dfrac{1}{1}\right)\times 1+\dfrac{1}{1}=3

x_2=2

y_2=\left(1+\dfrac{1}{1.5}\right)\times 3+\dfrac{1}{1.5}=\dfrac{17}{3}

x_3=2.5

y_3=9

En rouge la courbe exacte solution de l' équation différentielle et en bleu l' approximation de cette solution par la méthode d' Euler:

Équation différencielle et méthode d\'Euler

Posté par
keveto
re : Équation différencielle et méthode d'Euler 01-11-11 à 11:04

Aaaaaaaaaah d'accooord !! En effet je n'avais pas fais le lien entre y(1) et les points mais c'est tout à fait logique ! Merci beaucoup pour cette réponse détaillée j'y vois bien plus clair maintenant ! Encore merci cailloux !!

Posté par
cailloux Correcteur
re : Équation différencielle et méthode d'Euler 01-11-11 à 12:04

De rien keveto



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