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Equation différencielle, exponnentielle...

Posté par
Archange21 23-12-04 à 14:27

Salut a tous et je vous souhaite un joyeux noel!!
Voila j'ai un DM où persistent certains probleme et j'aurais grandement besoin de votre
aide SVP. Un grand merci d'avance à vous tous :

PARTIE B :

1) Déterminer les coefficients réels a et b tels que la fonction F définie sur R par
   F(x)=(acosx+bsinx)e^x soit une primitive de f.

2) Déterminer la primitive de f qui s'annule en 0.


PARTIE C :

   On cnsidère les équations differencielles :
                        (E)  y'-2y-1=0
                        (E') y'-2y=1-e^xsinx'
   Où y est une fonction definie et derivable sur R.
Dire en le justifiant, si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :

A) (E) admet une fonction polynôme du premier degré comme solution. ----->la je pense que oui si e^x n'est pas considérée comme degré ( si x vaut 2 ---> degré 2 etc ... ) mais si vous pouvez me donnez une belle justification se serait mieux

B) Soit g une fonction positive définie sur R ; si g est solution de (E) alors elle est
   croissante sur R.
C) La fonction x ----> 3e^{2x}+\frac{1}{2}est une solution de (E)-----> je pense que c'est pas possible
D) La primitive F de f qui s'annule en 0 est une solution de (E')

Je vous remercie encore d'avance
  

Posté par
Nightmarere : Equation différencielle, exponnentielle... 23-12-04 à 14:53

Bonjour

Pour la partie B je veux bien mais il nous faudrait l'expression de f


Pour la partie C :

A) Faux , il suffit de poser h(x)=ax+b et de regarder si il existe des réels a et b tel que h soit solution de (E)

B)Vrai : si g est solution de (E) :
g'-2g-1=0 donc g'=2g+1
Or , pour tout x réel , g est positive donc il en est de même pour 2g+1 soit donc de g' d'ou celle-ci est croissante sur \mathbb{R}

C) Faux :
On note l(x)=3e^{2x}+\frac{1}{2}
alors :
l'(x)=6e^{2x}
donc :
\blue\begin{tabular}l'(x)-2l(x)-1&=&6e^{2x}-2\(3e^{2x}+\frac{1}{2}\)-1\\&=&6e^{2x}-6e^{2x}-1-1\\&=&-2\end{tabular}

On remarquera que si la fonction est x\to3e^{2x}-\frac{1}{2} alors elle est solution . peut etre une erreur lors du recopiage de l'énoncé

D) il me manque f


Jord

Posté par
Archange21re : Equation différencielle, exponnentielle... 23-12-04 à 15:04

Merci nightmare,
Alors f(x)=e^xcosx
Et pour la C pas d'erreur de recopiage, en fait je crois que le fourbe c'est mon prof

Posté par
Nightmarere : Equation différencielle, exponnentielle... 23-12-04 à 15:17

Re

Bon eh bien on veut a et b tels que F soit une primitive de f , soit F'(x)=f(x)

Donc dérivons F :
\begin{tabular}F'(x)&=&(-a.sin(x)+b.cos(x))e^{x}+(a.cos(x)+b.sin(x))e^{x}\\&=&(-a.sin(x)+b.sin(x)+b.cos(x)+a.cos(x))e^{x}\\&=&((a+b)cos(x)-(a-b)sin(x))e^{x}\end{tabular}

On aura donc : F'(x)=f(x) si et seulement si a et b vérifient le systéme :
\{{a+b=1\\a-b=0}\
C'est a dire :
\{{a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}}\

Conclusion :
\blue\fbox{F_{C}(x)=\(\frac{1}{2}.cos(x)+\frac{1}{2}.sin(x)\)e^{x}+C_{\mathbb{R}}}

On cherche à présent la constante C telle que :
F_{C}(0)=0
soit :
\(\frac{1}{2}.cos(0)+\frac{1}{2}.sin(0)\)e^{0}+C_{\mathbb{R}}=0
c'est a dire :
\frac{1}{2}+C_{\mathbb{R}}=0
donc :
C_{\mathbb{R}}=-\frac{1}{2}

La primtive de f qui s'annule en 0 est donc :
\red\fbox{F(x)=\(\frac{1}{2}.cos(x)+\frac{1}{2}.sin(x)\)e^{x}-\frac{1}{2}}

Posté par
Nightmarere : Equation différencielle, exponnentielle... 23-12-04 à 15:19

Ah oui j'avais pas vu pour l'assertion D)

Bon eh bien c'est pas dur je te laisse la faire , il suffit de voir si F'(x)-2F(x)-1=0
avec :
F(x)=\(\frac{1}{2}.cos(x)+\frac{1}{2}.sin(x)\)e^{x}-\frac{1}{2}


Jord

Posté par
Archange21re : Equation différencielle, exponnentielle... 23-12-04 à 15:30

Un grand merci a toi eh bonne fete de fin d'année et avant tout un joyeux noel !!

Posté par
Nightmarere : Equation différencielle, exponnentielle... 23-12-04 à 15:33

un grand de rien à toi

Et bonne fête aussi Equation différencielle, exponnentielle...


Jord


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