Bonjour.
Voila j'ai un exercice à faire, mais je bloque je ne sait pas comment le résoudre.
Si quelqu'un pouvez m'aider. Merci d'avance. L'exercice est le suivant :
Soit l'équation différentielle (E) : Y'-Y= 4 cosx
1) Calculer les solutions de l'équation différentielles (Eo) : Y'-Y = 0
2) Déterminer des nombres a et b tels que la fonction g, définie sur R par g(x)= a cosx + b sinx, vérifie (E)
3) Démontrer qu'une fonction f est solution de (E) si et seulement si f-g est solution de (Eo)
4) En déduire les solutions de l'équation différentielle (E)
j'ai fait la question 1 mais je bloque a la 2.
Merci d'avance.
Bonjour Elodie75,
1. Qu'as-tu trouvé ?
2. Calcule g'(x) puis g'(x)-g(x) et essaye d'aboutir à un système d'inconnues a et b en égalant g'(x)-g(x) et 4cos(x).
masterrr
Tu n'as qu'à remplacer, dans l'équation (E), y par g(x) et y ' par g '(x), et déterminer a et b pour qu'elle soit vérifiée quel que soit x.
2. g'(x)-g(x)=(b-a)cos(x)-(a+b)sin(x)
Et tu veux que g'(x)-g(x) soit égal à 4cos(x) pour tout x, c'est-à-dire (b-a)cos(x)-(a+b)sin(x)=4cos(x) pour tout x.
Quelles relations cela impose-t-il sur les coefficients a et b ?
3. (f-g) est solution de (E0) si, et seulement si, (f-g)'-(f-g)=0 si, et seulement si, ...
Développe la dernière relation en séparant ce qui concerne f et ce qui concerne g. Rappelle-toi que g est solution de (E) (si tu prends les valeurs trouvées à la question précédente pour a et b !). Tu devrais donc obtenir que f est solution de (E) si tout se passe bien.
4. Tu connais les solutions de (E0) d'après la question 1. Donc tu connaît l'expression (f-g)(x) et tu l'expression de g(x) d'après la question 2. Tu peux donc en déduire l'expression de f(x).
D'accord je vais essayer et je vous tiens au courant si j'y arrive.
masterrr
pour la question 1 je trouve comme solutions f(x) = ce^x avec c e R
D'accord merci.
Pour la question 2 je trouve cela, Par contre je suis bloquée apre je ne sait pas comment finir :
g(x)= a cosx + b sinx
g'(x)= -a sinx + b cosx
Dans (E): Y'-Y= 4 cosx , On remplace Y' par g'(x) et Y par g(x).
L'equation se réecrit donc :
(-a sinx + b cosx ) - a cosx - b sinx = 4 cosx
(-a-b)sinx + (b-a) cosx = 4 cosx
d'ou
-a-b=0
b-a=4
Je suis bloquée ici. Pouvez vous m'aider?
Merci d'avance.
Tu ne sais plus résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues ?
-a-b=0
b-a=4
on fait la somme des 2 équations membres à membre :
-a-b+b-a = 0 + 4
-2a = 4
a = -2
-a-b = 0
2-b = 0
b = 2
--> g(x)= -2.cosx + 2.sinx
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Sauf distraction.
Merci beaucoup.
Oui je sais résoudre une equation a 2 inconnu mais je trouvai 0 pour a et b, cela me semblait bizarre.
Mais comment l'on sait que g vérifie E ? car moi et les équations différentielles sa fait 2, je n'y arrive pas du tout. Merci d'avance.
et pour la question 3, je ne voit pas trop comment faire d'après vos explications. Merci
La fonction g vérifie l'équation (E) " Y ' - Y = 4cosx " si g ' - g = 4cosx.
Question 3 : si la fonction f - g vérifie l'équation (Eo) " Y' - Y = 0 ", on a (f - g)' - (f - g) = 0,
c'est-à dire f ' - f - (g ' - g) = 0.
g est connu : g = - 2cosx + 2sinx. Calcule g ', remplace g et g ' par ces expressions, puis compare l'équation résultante avec l'équation (E).
3)
Supposons que f soit solution de E, on a alors :
f ' - f = 4.cos(x)
f - g = f + 2 cosx - 2 sinx
(f - g)' = f' - 2.sin(x) - 2.cos(x)
(f - g)' - (f - g) = f' - 2.sin(x) - 2.cos(x) - f - 2 cosx + 2 sinx
(f - g)' - (f - g) = 4.cos(x) - 4.cos(x)
(f - g)' - (f - g) = 0
Et donc (f-g) est solution de Eo.
f solution de E ==> (f-g) est solution de Eo (1)
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Supposons que (f-g) est solution de Eo, on a alors :
(f - g)' - (f - g) = 0
f ' - g' - f + g = 0
f ' - f = g' - g
f ' - f = 2.sin(x) + 2.cos(x) + 2 cos(x) - 2 sin(x)
f ' - f = 4.cos(x)
Et donc f est solution de E.
(f-g) est solution de Eo ==> f solution de E (2)
---
(1) et (2) :
(f-g) est solution de Eo <==> f solution de E
Et donc : f est solution de (E) si et seulement si f-g est solution de (Eo)
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Sauf distraction.
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