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Equation différentielle

Posté par
Elodie75
21-12-09 à 10:16

Bonjour.
Voila j'ai un exercice à faire, mais je bloque je ne sait pas comment le résoudre.
Si quelqu'un pouvez m'aider. Merci d'avance. L'exercice est le suivant :

Soit l'équation différentielle (E) : Y'-Y= 4 cosx
1) Calculer les solutions de l'équation différentielles (Eo) : Y'-Y = 0
2) Déterminer des nombres a et b tels que la fonction g, définie sur R par g(x)= a cosx + b sinx, vérifie (E)
3) Démontrer qu'une fonction f est solution de (E) si et seulement si f-g est solution de (Eo)
4) En déduire les solutions de l'équation différentielle (E)

j'ai fait la question 1 mais je bloque a la 2.
Merci d'avance.

Posté par
masterrr
re : Equation différentielle 21-12-09 à 10:26

Bonjour Elodie75,

1. Qu'as-tu trouvé ?

2. Calcule g'(x) puis g'(x)-g(x) et essaye d'aboutir à un système d'inconnues a et b en égalant g'(x)-g(x) et 4cos(x).

masterrr

Posté par
Priam
re : Equation différentielle 21-12-09 à 10:31

Tu n'as qu'à remplacer, dans l'équation (E), y par g(x) et y ' par g '(x), et déterminer a et b pour qu'elle soit vérifiée quel que soit x.

Posté par
masterrr
re : Equation différentielle 21-12-09 à 10:33

2. g'(x)-g(x)=(b-a)cos(x)-(a+b)sin(x)

Et tu veux que g'(x)-g(x) soit égal à 4cos(x) pour tout x, c'est-à-dire (b-a)cos(x)-(a+b)sin(x)=4cos(x) pour tout x.

Quelles relations cela impose-t-il sur les coefficients a et b ?

Posté par
masterrr
re : Equation différentielle 21-12-09 à 10:40

3. (f-g) est solution de (E0) si, et seulement si, (f-g)'-(f-g)=0 si, et seulement si, ...

Développe la dernière relation en séparant ce qui concerne f et ce qui concerne g. Rappelle-toi que g est solution de (E) (si tu prends les valeurs trouvées à la question précédente pour a et b !). Tu devrais donc obtenir que f est solution de (E) si tout se passe bien.

4. Tu connais les solutions de (E0) d'après la question 1. Donc tu connaît l'expression (f-g)(x) et tu l'expression de g(x) d'après la question 2. Tu peux donc en déduire l'expression de f(x).

Posté par
Elodie75
reponse 22-12-09 à 09:15

D'accord je vais essayer et je vous tiens au courant si j'y arrive.
masterrr
pour la question 1 je trouve comme solutions f(x) = ce^x     avec c e R

Posté par
masterrr
re : Equation différentielle 22-12-09 à 10:12

C'est bon pour la question 1.

La suite maintenant

Posté par
Elodie75
reponse 24-12-09 à 11:28

D'accord merci.
Pour la question 2 je trouve cela, Par contre je suis bloquée apre je ne sait pas comment finir :

g(x)= a cosx + b sinx
g'(x)= -a sinx + b cosx

Dans (E): Y'-Y= 4 cosx , On remplace Y' par g'(x) et Y par g(x).
L'equation se réecrit donc :

(-a sinx + b cosx ) - a cosx - b sinx = 4 cosx
(-a-b)sinx + (b-a) cosx = 4 cosx
d'ou

-a-b=0                
b-a=4

Je suis bloquée ici. Pouvez vous m'aider?
Merci d'avance.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Equation différentielle 24-12-09 à 11:35

Tu ne sais plus résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues ?

-a-b=0                
b-a=4

on fait la somme des 2 équations membres à membre :

-a-b+b-a = 0 + 4
-2a = 4
a = -2

-a-b = 0
2-b = 0
b = 2

--> g(x)= -2.cosx + 2.sinx
-----
Sauf distraction.  

Posté par
Elodie75
re 29-12-09 à 09:31

Merci beaucoup.
Oui je sais résoudre une equation a 2 inconnu mais je trouvai 0 pour a et b, cela me semblait bizarre.
Mais comment l'on sait que g vérifie E ? car moi et les équations différentielles sa fait 2, je n'y arrive pas du tout. Merci d'avance.

et pour la question 3, je ne voit pas trop comment faire d'après vos explications. Merci

Posté par
Elodie75
reponse 30-12-09 à 11:54

Svp aider moi

Posté par
Priam
re : Equation différentielle 30-12-09 à 15:26

La fonction g vérifie l'équation (E) " Y ' - Y = 4cosx " si g ' - g = 4cosx.

Question 3 : si la fonction f - g vérifie l'équation (Eo) " Y' - Y = 0 ", on a (f - g)' - (f - g) = 0,

c'est-à dire f ' - f - (g ' - g) = 0.

g est connu : g = - 2cosx + 2sinx. Calcule g ', remplace g et g ' par ces expressions, puis compare l'équation résultante avec l'équation (E).

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Equation différentielle 30-12-09 à 15:40

3)

Supposons que f soit solution de E, on a alors :
f ' - f = 4.cos(x)

f - g = f + 2 cosx - 2 sinx
(f - g)' = f' - 2.sin(x) - 2.cos(x)

(f - g)' - (f - g) = f' - 2.sin(x) - 2.cos(x) - f - 2 cosx + 2 sinx
(f - g)' - (f - g) = 4.cos(x)  - 4.cos(x)
(f - g)' - (f - g) = 0

Et donc (f-g) est solution de Eo.

f solution de E ==> (f-g) est solution de Eo   (1)
---
Supposons que (f-g) est solution de Eo, on a alors :

(f - g)' - (f - g) = 0
f ' - g' - f + g = 0
f ' - f = g' - g
f ' - f = 2.sin(x) + 2.cos(x) + 2 cos(x) - 2 sin(x)
f ' - f = 4.cos(x)

Et donc f est solution de E.

(f-g) est solution de Eo ==> f solution de E  (2)
---
(1) et (2) :

(f-g) est solution de Eo <==> f solution de E

Et donc : f est solution de (E) si et seulement si f-g est solution de (Eo)
-----
Sauf distraction.  



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