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équation différentielle.
Bonjour j'ai un exercice sur les équations différentielle mais j'ai des petits problèmes pour le faire. Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?
Voici l'énoncé:
1) Résoudre l'équation différentielle : (E): 2y'+y=0 dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur 
.
2) On considère l'équation différentielle: (E'): 2y'+y=(e^(-x/2))(x+1)
a) Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur par f(x)=(e^(-x/2))(mx²+px) soit solution de (E').
b) Soit g une fonction définie et dérivable sur . Montrer que g est solution de l'équation (E') si et seulement si g-f est solution de l'équation (E).
c) Résoudre (E').
d) Déterminer la fonction h solution de (E') telle que h(0)=-1 et vérifier que pour tout nombre réel x, h(x)=((1/4)(e^(-x/2)))(x²+2x-4).
3) Déterminer la limite en -
de la fonction h. On admet que lim h(x)=0 (en +).
4) Etudier les variations de la fonction h . Dresser le tableau de variation de h.
5) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (0;i;j) on note (C) la courbe représentative de h et (L) celle de la fonction : x
e^(-x/2).
a) Etudier les positions relatives de (C) et (L).
b) Tracer les deux courbes sur un même graphique.
Alors voilà les quelques réponses que j'ai trouvais :
1) 2y'+y=0 y'=-y/2 y'=(-1/2)*y
S=(xke^(-x/2) avec k
.
2)a) J'ai écrit : - 2f'+f=e^(-x/2)(x+1)
- f(x)=e^(-x/2)(mx²+px)
- f'(x)= 2mxe^(-x/2)+pe^(-x/2)
Ensuite j'ai calculé 2f'(x)+f(x) et j'ai trouvé que 2f'(x)+f(x)= xe^(-x/2)(4m+p)+e^(-x/2)(2p)+x²(me^(/x/2)
Par indentification, 4m+p=1 m=1/8
2p=1 p=1/2
me^(-x/2)=0
Je ne suis pas convaincu de mes résultats ...
b) g solution de (E')
2g'+g=e^(-x/2)(x+1)
2(g+f)'+2(f-g)=0
(J'ai remplacé e^(-x/2)(x+1) par f'+2f car f est solution.
g-f solution de (E').
c) Celle ci je n'ai pas réussi a la faire. J'ai essayé de mettre ln de chaque coté pour faire disparaître les exponentielle mais je n'ai pas réussi a la résoudre.
d)Je n'ai pas compris cette question.
3) lim h(x)=+ et lim h(x)=0 (+)
4) h'(x)=u'v+uv'= Bonjour j'ai un exercice sur les équations différentielle mais j'ai des petits problèmes pour le faire. Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?
Voici l'énoncé:
1) Résoudre l'équation différentielle : (E): 2y'+y=0 dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur .
2) On considère l'équation différentielle: (E'): 2y'+y=(e^(-x/2))(x+1)
a) Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur par f(x)=(e^(-x/2))(mx²+px) soit solution de (E').
b) Soit g une fonction définie et dérivable sur . Montrer que g est solution de l'équation (E') si et seulement si g-f est solution de l'équation (E).
c) Résoudre (E').
d) Déterminer la fonction h solution de (E') telle que h(0)=-1 et vérifier que pour tout nombre réel x, h(x)=((1/4)(e^(-x/2)))(x²+2x-4).
3) Déterminer la limite en - de la fonction h. On admet que lim h(x)=0 (en +).
4) Etudier les variations de la fonction h . Dresser le tableau de variation de h.
5) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (0;i;j) on note (C) la courbe représentative de h et (L) celle de la fonction : xe^(-x/2).
a) Etudier les positions relatives de (C) et (L).
b) Tracer les deux courbes sur un même graphique.
Alors voilà les quelques réponses que j'ai trouvais :
1) 2y'+y=0 y'=-y/2 y'=(-1/2)*y
S=(xke^(-x/2) avec k.
2)a) J'ai écrit : - 2f'+f=e^(-x/2)(x+1)
- f(x)=e^(-x/2)(mx²+px)
- f'(x)= 2mxe^(-x/2)+pe^(-x/2)
Ensuite j'ai calculé 2f'(x)+f(x) et j'ai trouvé que 2f'(x)+f(x)= xe^(-x/2)(4m+p)+e^(-x/2)(2p)+x²(me^(/x/2)
Par indentification, 4m+p=1 m=1/8
2p=1 p=1/2
me^(-x/2)=0
Je ne suis pas convaincu de mes résultats ...
b) g solution de (E')2g'+g=e^(-x/2)(x+1)
2(g+f)'+2(f-g)=0
(J'ai remplacé e^(-x/2)(x+1) par f'+2f car f est solution.
g-f solution de (E').
c) Celle ci je n'ai pas réussi a la faire. J'ai essayé de mettre ln de chaque coté pour faire disparaître les exponentielle mais je n'ai pas réussi a la résoudre.
d)Je n'ai pas compris cette question.
3) lim h(x)=+ et lim h(x)=0 (+)
4) h'(x)=u'v+uv'= (1/4)(((-1/2)e^(-x/2))(x²+2x)+(e^(-x/2)))
= (((e^(x-2))/4)((-x²/2)-x+2x+2))
= ((-x/2)+x+2)((e^(-x/2))/4)
= (-e^(-x/2))((x²-2x-4)/8)
tableau de variation :
x - (2-
20)/2 (2+20)/2 +
-e^(-x/2) + + +
(x²-2x-4)/8 + 0 - 0 +
h'(x) + 0 - 0 +
h(x) croissant décroissant croissant
Cependant ces variations ne correspondent pas à celles lorsque je trace la fonction sur ma calculette ...
5)a) Faut-il étudier h(x)-e^(-x/2) et étudier la fonction pour savoir le signe ?
b) Ici je le ferai c'est bon.
Merci de votre future aide.
2.b. OK
2.c. g solution de (E') ssi g-f solution de (E) d'après 2.b.
Or g-f solution de (E) ssi (g-f)(x)=ke-x/2 d'après 1, donc g(x)=f(x)+ke-x/2=e-x/2[(1/4)x²+(1/2)x+k] d'après 2.a.
2.d. h(x)=e-x/2[(1/4)x²+(1/2)x+k] d'après 2.c.
Or h(0)=-1, ce qui permet de déterminer la valeur de k.
Comme toi, sauf que tu t'es as fait une erreur de calcul : quand tu calcules f'(x), n'oublie pas qu'il s'agit d'un produit. (uv)'=u'v+uv' : tu as oublié le deuxième terme dans ton calcul.
je viens de recalculer f'(x) et je trouve f'(x)=((-1/2)mx²e^(-x/2))-((1/2)pxe^(-x/2))+(m2xe^(-x/2))+(pe^(-x/2)).
Est ce que c'est bien ça ?
Tu fais ce que tu veux ! Sauf qu'on factorise toujours un calcul de dérivée, mais bon après tu fais bien ce que tu veux.
Pourrais-tu s'il te plait me montrer comment tu as trouvé m=1/4 et p=1/2. J'ai fais comme tu m'a dit en factorisant f'(x) et ça me donne : f'(x)=(e^(/x/2))((-1/2)mx²-(1/2)px+m2x+p)
=(e^(-x/2))(x²((-1/2)m)+x((-1/2)p)+2x(m+(p/2)))
donc après je fais 2f'(x)+f(x)= 2((e^(-x/2))(x²((-1/2)m)+x((-1/2)p)+2x(m+(p/2)))+(e^(-x/2))(mx²+px) mais là je ne sais plus quoi faire ...
Je t'ai dit de factoriser par exp(-x/2) puis de regrouper les termes en x², en x et les termes constants.
Ensuite tu identifies cette expression avec (x+1)exp(-x/2).
euh là je suis complètement perdu ... je comprend quand tu dis de factoriser par exp(-x/2) mais je ne comprend pas quad tu dis de regrouper les termes en x², en x et les termes constants (c'est pourtant ce que j'ai essayé de faire (enfin essayé ...)). Pourrais-tu me donner un exemple ?
Ben c'est simplement qu'on n'écrit pas 2x²+x+3-2x+2+x², mais (2+1)x²+(1-2)x+(3+2)=3x²-x+5.
C'est ça regrouper les termes selon les puissances de x.
J'espère que cette fois j'ai juste 
:
f'(x)= (e^(-x/2)((-1/2)mx²+(3/2)mpx+p) après avoir factorisé au max.
Après je fais 2f'(x)+f(x)=(e^(-x/2))(x+1) et je remplace c'est bien ça ? 
est solution de
ssi
Or , donc
.
Ainsi, solution de
ssi
ssi (
et
) [en identifiant les coefficients] ssi
et
...
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