Bonjour, non tu n'as pas calculé les deux réels a et b pour trouver la solution particulière (ta solution -cos(x) / 2 ne marche pas, elle n'est pas solution).
tu aurais dû trouver y=Ce^x + (1/5)(sin(x)-2cos(x))

J'ai appris des formules de solution pour des types d'équation différentielle, comme celle-ci de cette forme et comment ça se fait que je ne trouve pas le bon résultat.

Donc pour la question b; du petit 1 pour résoudre (Eo) : y'= 2y
J'ai di que c'était de la forme y'= ay
D'où y= Ce(2x)

C'est bon normalement ?

tu as y=acos(x) + b sin(x), calcule y'-2y et identifie le résultat à cos(x) pour trouver a et b
sinon oui, la solution de l'équation homogène y'=2y est bien Ce^2x
(j'ai écrit trop vite la solution c'est donc y=Ce^2x + (1/5)(sin(x)-2cos(x)) )

D'accord mais je ne vois pas comment y = acos (x) + b sin (x).

Je refais ce que j'ai f

Je refais ce que j'ai fais dans ma question a
y = acos (x) + b sin (x).

y'-2y = -a sin (x) +b cos (x) - 2(acos (x) + b sin (x))

-a sin (x) +b cos (x) - 2acos (x) - 2b sin (x) = cos (x)
(-a -2b) sin (x) + (b-2a) cos (x) = cos x

on obtient un système
-a-2b = 0
b-2a = 1 on multiplie par deux

-a-2b =0
2b-4a =2

-5 a = 2
a= -2/5

on cherche maintenant b
2/5 - 2b=0
-2b = -2/5
b = 1/5

Et ben voilà

Cela répond a ma question 1, a ( Déterminer deux réel a et b tels que la fonction fo définie sur R fo(x) =a cos (x) + bsin (x). Soit solution de (E) )

Ahh je crois que j'ai compris comme fo est solution de E alors
f'o= 2 fo + cos x
f'o = 2fo est solution de Eo donc
y = Ce (2x) +cos x

Ben non je n'y arrive pas..

Ben non, la solution de l'équation générale est donc la somme de la solution de l'équation homogène donc Ce^2x et de la solution particulière de l'équation avec second membre et tu as trouvé y= (1/5)(sin(x)-2cos(x))
Donc au total : y=Ce^2x + (1/5)(sin(x)-2cos(x))

J'aimerai bien faire le calcul pour mieux comprendre mais de mon équation y' = 2y + cos je n'arrive pas à remplacer y ou cos

Pour répondre à quelle question ? tu l'as déjà fait ça pour trouver a et b. tu en es au 4) maintenant.

Mais la question trois je ne la comprend pas du tout, c'est bien beau d'avoir une réponse mais y=Ce2x + (1/5)(sin(x)-2cos(x)) je vois d'où ça sors..

la dernière question est simple, nous avons juste a remplacer :
y=Ce2x + (1/5)(sin(x)-2cos(x))
f(/2) = Ce (/2 x 2x)+ (1/5)(sin(/2)-2cos(/2))= 0
sin /2 = 1
cos /2 =0
donc
Ce +1/5 =0
Ce =-1/5
C= -1/5e

D'où y= -1/5e e2x + (1/5)(sin(x)-2cos(x))?

C'est du cours ça, la solution générale d'une équation de type y'- 2y = cos x est la somme de la solution de l'équation y'-2y=0 (dite équation homogène) et d'une solution particulière de l'équation avec second membre.

Démontrons le si tu veux. on va dire que f est solution de y'-2y=0 et g solution particulière de y'- 2y = cos x
Démontrons que f+g est solution de l'équation générale : (f+g)'-2(f+g)=f'-2f + g'-2g mais f'-2f=0 et g'-2g= cos x donc (f+g)'-2(f+g)=cos x et f+g est bien solution.
Réciproquement, si h est la solution générale de l'équation alors h-g est solution de l'équation homogène car (h-g)'-2(h-g)=h'-2h-(g'-2g)=cosx - cosx=0 et donc h-g est de la forme Ce^2x et donc h=g+Ce^2x

Ce=-1/5 d'accord mais C=-(1/5)e^- et donc
y=-(1/5)e^2x-+ (1/5)(sin(x)-2cos(x)) ça n'est pas exactement ce que tu as mis

D'accord Merci beaucoup j'ai tout compris