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équation différentielle
bonsoir à tous voilà j'ai des exercices à faire et je bloque complétement sur un . je voudrais avoir des pistes pour savoir comment il faut je m'y prend. merci de bien vouloi répondre.
voilà l'énoncé : Le but de l'exo est de démontrer l'existence d'une unique fonction f dérivable su
r vérifiant la condition (C):
f(-x)f'(x) = 1 pour tout réel x,
f(0)=-4
1.on suppose qu'il existe une fonction f satisfesant la condition (C) et on considère alors la fonction g définie sur par g(x)=f(-x)f(x)
a) démontrer que la fonction f ne s'annule pas sur b) calculer la fonction dérivée de la fonction g.
c) déduisez en que la fonction g est constante et déterminez sa valeur
Bonsoir ,
si f s'annulait sur R on aurait un point x0 tel que f(x0)=0 donc f(-(-x0))=0 ce qui contredit la condition (C).
Qu'est-ce que tu ne comprend pas?
On te demande de montrer que f ne s'annule pas sur R cad que pour tout x ,f(x) different de 0.
On fait une demonstration par l'absurde, on suppose qu'il existe x0 tel que f(x0)=0. Alors en appliquant la condition C à -x0 on obtient f(-(-x0))f'(-x0)=1 or f(-(-x0))=f(x0)=0 c'est absurde.
bonjour
f(-(-x0))f'(-x0)=1 => f(x0)f'(-x0)=1
comme f est dérivable on ne peut pas avoir f'(-x0)="1/0"
donc x0 n'existe pas => f ne s'annule pas
g(x)=f(-x)f(x)
g'(x) = -f'(-x)f(x) + f(-x)f'(x)
or
f'(-x)f(x) = 1
et
f(-x)f'(x) = 1
donc
g'(x)=-1+1=0 => g(x)=Constante
A vérifier (surtout sur la "rigoureusité"(c'est du canadien) de la première question)
.
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