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équation différentielle avec détermination d'une fonction

Posté par
Nelcar 14-02-21 à 09:32

Bonjour,
voici un exercice du livre dont le corrigé est en bout du livre :
Soit N(t) le nombre de noyaux radioactifs d'un corps à l'instant t, où t est exprimé en jours.
On admet que la fonction N et solution de l'équation différentielle y'=ay, où a est une constante réelle
1) déterminer N(t) en fonction de a, sachant que N(0)=109
2) Au bout de 18 jours, le nombre de noyaux radioactifs a diminué de moitié. Calculer la valeur exacte de a
3) Au bout de combien de jours le nombre de noyaux deviendra t-il inférieur à 100 ?

d'abord la première question
la réponse est N(t)=109eat
avant d'aller plus loin si quelqu'un peut m'expliquer cette réponse.

MERCI

Posté par
malou Webmasterre : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 09:35

Bonjour
tu cherches l'écriture générale des solutions (donc avec une constante)
puis tu utilises le fait que N(0)=10^9 et tu vas trouver la constante

Posté par
Nelcarre : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 10:12

Bonjour malou,
j'aurai aimé avoir l'explication pour eat

MERCI

Posté par
Nelcarre : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 10:13

pourquoi mets-ton e

voilà ma première question

Posté par
malou Webmasterre : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 10:22

je sais que tu as dormi depuis hier...mais hier tu ne te posais pas la question...
c'est la fonction exponentielle, et aujourd'hui la variable n'est pas x mais t
mais c'est la même chose
oui ?

Posté par
heklare : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 10:47

Bonjour

y'=ay \iff \dfrac{y'}{y}= a   

en intégrant on a \ln y= at d'où y=C \text{e}^{at}

Posté par
Nelcarre : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 11:01

Bonjour à vous deux
Malou : en effet j'ai dormi depuis hier.... hi hi hi
hekla : ok je comprends mieux avec ton explication
donc la question 2 est :
2) Au bout de 18 jours, le nombre de noyaux radioactifs a diminué de moitié. Calculer la valeur exacte de a
on a :e18a=1/2
mais je ne sais pas comment faire pour trouver a

MERCI

Posté par
heklare : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 11:07

N(18)=\dfrac{1}{2}\,N_0

Comme d'habitude   Demandez à \n

Posté par
heklare : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 11:08

\ln

Posté par
Nelcarre : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 12:06

Oui hekla, je vais demander à ln hi hi hi  (tu te fou de moi là)
e18a=1/2
a=  - ln(2)/18


question  3) Au bout de combien de jours le nombre de noyaux deviendra t-il inférieur à 100 ?
N(t)<100
le corrigé met soit eat<10-7
avant de continuer je ne comprends pas d'où vient le -7

MERCI

Posté par
heklare : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 12:10

Non en fait j'aurais dû écrire Hélène

\dfrac{100}{10^9}= 100\times 10^{-9}=10^{2-9}

Posté par
Nelcarre : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 14:17

qui est Hélène ?
je reprends donc cet exercice :
ok je n'avais pas vu que l'on pouvait faire comme cela.
donc eat<10-7   soit t>-7ln(10)/a   soit
t>(18*7)ln(10)/ln(2)
= 418,56  arrondi à 419 jours.


je tombe comme le corrigé (mais j'ai encore des difficultés). Je vais refaire des exercices

MERCI

Posté par
malou Webmasterre : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 14:26


Citation :
qui est Hélène ?



prononce le tout haut ...hekla te taquine...

Posté par
Nelcarre : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 14:27

Ah la vilaine !

MERCI à vous pour votre aide très précieuse

Posté par
heklare : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 14:39

C'est une blague assez connue,  en général avec \ln 3  qui se lit : elle n  de trois

Encore elle  !  Allusion à Hélène de Troie,  personnage de la mythologie grecque, enjeu de la guerre de Troie.

Revenons à nos moutons

Que vient faire a ici ? un résidu de copier-coller ?  une simplification d'écriture ?

\text{e}^{\frac{-\ln 2}{18}\times t}<10^{-7}

\dfrac{-\ln 2}{18}t<\ln 10^{-7}

t>\dfrac{-7\ln 10}{\frac{-\ln 2}{18}}

t> \dfrac{7\times 18 \ln 10}{\ln 2}

\dfrac{7\times 18 \ln 10}{\ln 2}\approx 418,563

D'accord.

Posté par
Nelcarre : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 15:29

Re,
oui en effet, je n'avais pas compris la blague !
mon " a"' provenait de :
donc eat<10-7   soit t>-7ln(10)/a  

c'était ce qui était mis sur le corrigé
j'ai compris ta façon de faire

MERCI Beaucoup

Petite question j'ai vu sur ce site une personne qui avait mis un exercice il fallait qu'elle calcule la dérivée de f(x)=ex/2*(ax²+bx)
j'ai essayé mais je ne retrouve pas son résultat
si tu peux me donner les explications

M E R C I

Posté par
heklare : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 15:43

(ax^2+bx)\times  \text{e}^{x/2}

forme uv donc dérivée

(2ax+b)\text{e}^{x/2}+\dfrac{1}{2}(ax^2+bx)\text{e}^{x/2}

on met \text{e}^{x/2} en facteur

autre cas possible si l'on a \text{e}^{(ax^2+bx)x/2}  c'est tout simplement de la forme \text{e}^u  d'où la dérivée

Posté par
Nelcarre : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 16:15

je fais ce que tu me mets
u'v+uv'
u=ax²+bx       u'=2ax + bx
v= ex/2           v'=1/2ex/2

(2ax+bx)ex/2 + 1/2(ax²+bx)ex/2
moi j'ai un x en plus (le rouge)

j'écris la suite avec ce que tu as noté :
(2ax+b+ax²/2 + bx/2)ex/2

M E R C I

soit ((4ax+2b+ax²+bx=/2)ex/2

Posté par
heklare : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 16:47

Le rouge n'existe pas  car la dérivée de x\mapsto bx est x\mapsto b

D'ailleurs  si en dérivant une  fonction de degré 2 vous obtenez une fonction de degré 1
comment se ferait-il alors qu'en dérivant une fonction de degré 1 on obtienne encore une
fonction de degré 1 ?


\left(\dfrac{1}{2}ax^2+\left(\dfrac{1}{2}b+2a\right)x+b\right) \text{e}^{x/2}

=\left(\dfrac{ax^2+(b+4a)x+2b}{2}\right)\text{e}^{x/2}

Posté par
Nelcarre : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 17:01

OK
Merci c'était mon problème

Encore un grand MERCI

Posté par
heklare : équation différentielle avec détermination d'une fonction 14-02-21 à 17:22

De rien


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