Bonjour, voilà le sujet que j'ai traiter dans son intégralité à par les deux dernières questions :

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O.,).

1. On désigne par C la courbe représentative de la fonction exponentielle xe^x. Pour tout point M d'abscisse t appartenant à C, on considère le point P de coordonnées (t,0) et le point N, point d'intersection de la tangente en M à C avec l'axe des abscisses.

Montrer que la distances PN est constante.

Donc tout d'abord j'ai calculé l'équation de la tangente en M à C :
ca donne : y = e^t(x-t+1)
je cherche l'abscisse du point N qui est le point d'intersection de la tangente en M à C avec l'axe des abscisses, donc il faut résoudre :

e^t(x-t+1)=0

ce qui donne : x_N = t-1.

Ensuite on trouve PN = 1 donc PN est constante pour tout M de C.

2. Dans la suite de l'exercice, f désigne une fonction définie sur , strictement positive, dérivable et dont la dérivée est strictement positive. Pour tout M d'abscisse t appartenant à la courbe représentative de f, on considère le point P de coordonnées (t,0) et le point N, point d'intersection de la tangente en M à la courbe représentative de f avec l'axe des abscisses.

a. Calculer la distance PN en fonction de f(t) et de f'(t).
J'ai procédé de la même façon que pour la 1. et j'ai trouvé :

y = f'(t)(x-t) + f(t)

f'(t)(x-t) + f(t) = 0
<=> x_N = t - f(t)/f'(t)

Du coup PN = f(t)/f'(t)

Voilà c'est à partir d'ici que je n'y arrive plus :

b. Déterminer une équation différentielle (E_k) vérifiée par les fonctions f définies sur , strictement positives, dérivables et dont la dérivée est strictement positive, pour lesquelles la distance PN est une constante k non nulle.

c Déterminer les fonctions f solutions de (E_k).

Si une personne peut me venir en aide je lui serais très reconnaissant.