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Équation différentielle, dérivation et intégration

Posté par
ririfabre 13-04-23 à 11:36

Bonjour,

J'ai un exercice à faire en maths et j'ai beaucoup de mal à commencer l'exercice.

Énoncé :
On appelle E l'ensemble des fonctions numériques f admettant des dérivées f', f'', et f^{(3)} dérivables sur R et vérifiant l'équation différentielle (x-1)y''-xy'+y=0.

1. Montrer que si f appartient à E alors pour tout x\in\mathbb{R}\setminus1 f^{(3)}(x)=f''(x).
En déduire que si f est un élément de E alors f^{(3)}=f'', puis que f'' est solution d'une équation différentielle de la forme y'-my=0    (m\in\mathbb{R})

2. À l'aide de deux intégrations, montrer que les éléments de E sont de la forme f(x)= ac+be^x  
  (a,b)\in\mathbb{R}^2

Mes pistes:
Pas grand chose de concluant, j'ai pensé à faire un genre de changement de variable (dire que une fonction g est telle que g(x)=f'(x))mais ça va nulle part et je suis même pas sûre que ce soit possible.
Qu'est ce que je ne vois pas ?

Merci beaucoup de l'aide que vous pourrez m'apporter.

Posté par
lakere : Équation différentielle, dérivation et intégration 13-04-23 à 13:37

Bonjour,

1) La relation qu'on te demande de prouver fait intervenir f^{(3)}(x)
Il est raisonnable de penser à dériver l'équation différentielle  de départ.

Posté par
lakere : Équation différentielle, dérivation et intégration 13-04-23 à 13:43

Au fait :

Citation :
2. À l'aide de deux intégrations, montrer que les éléments de E sont de la forme f(x)= ac+be^x  
  (a,b)\in\mathbb{R}^2


  ou f(x)=a{\red x}+be^x ?

Posté par
ririfabrere : Équation différentielle, dérivation et intégration 13-04-23 à 13:49

lake @ 13-04-2023 à 13:43

Au fait :

Citation :
2. À l'aide de deux intégrations, montrer que les éléments de E sont de la forme f(x)= ac+be^x  
  (a,b)\in\mathbb{R}^2


  ou f(x)=a{\red x}+be^x ?


Oui effectivement c'est bien un x et pas un c!

Posté par
ririfabrere : Équation différentielle, dérivation et intégration 13-04-23 à 14:04

lake @ 13-04-2023 à 13:37

Bonjour,

1) La relation qu'on te demande de prouver fait intervenir f^{(3)}(x)
Il est raisonnable de penser à dériver l'équation différentielle  de départ.


Ahhh mais bien sûr !!
On obtient quelque chose comme ça :
f''(x)+f^{(3)}(x)(x-1)-f'(x)+f''(-x)+f'(x)=0
\iff f''(x)(-x+1)+f^{(3)}(x)(x-1)=0 \\ \iff f^{(3)}(x)=f''(x)

Posté par
lakere : Équation différentielle, dérivation et intégration 13-04-23 à 14:09

Oui mais les équivalences n'ont pas lieu d'être ici.

La question 1) est sous la forme "si" ..... "alors" et ne fait intervenir que des implications.
D'ailleurs ces implications qui se poursuivent  en 2) exigera une réciproque. Mais n'anticipons pas...

Posté par
ririfabrere : Équation différentielle, dérivation et intégration 13-04-23 à 14:10

ririfabre @ 13-04-2023 à 14:04

lake @ 13-04-2023 à 13:37

Bonjour,

1) La relation qu'on te demande de prouver fait intervenir f^{(3)}(x)
Il est raisonnable de penser à dériver l'équation différentielle  de départ.


Ahhh mais bien sûr !!
On obtient quelque chose comme ça :
f''(x)+f^{(3)}(x)(x-1)-f'(x)+f''(-x)+f'(x)=0
\iff f''(x)(-x+1)+f^{(3)}(x)(x-1)=0 \\ \iff f^{(3)}(x)=f''(x)


Oupsi, 1e ligne, f''(x)+f^{(3)}(x)(x-1)-f'(x)+f''(x)(-x)+f'(x)=0

Posté par
ririfabrere : Équation différentielle, dérivation et intégration 13-04-23 à 14:12

lake @ 13-04-2023 à 14:09

Oui mais les équivalences n'ont pas lieu d'être ici.

La question 1) est sous la forme "si" ..... "alors" et ne fait intervenir que des implications.
D'ailleurs ces implications qui se poursuivent  en 2) exigera une réciproque. Mais n'anticipons pas...

D'accord juste des implications

Posté par
ririfabrere : Équation différentielle, dérivation et intégration 13-04-23 à 14:14

Pour la suite du 1, comment justifier que si f^{(3)}(x)=f''(x) on a aussi f^{(3)}=f''?
Quelle est la différence ?

Posté par
ririfabrere : Équation différentielle, dérivation et intégration 13-04-23 à 14:19

ririfabre @ 13-04-2023 à 14:14

Pour la suite du 1, comment justifier que si f^{(3)}(x)=f''(x) on a aussi f^{(3)}=f''?
Quelle est la différence ?

Je sais que f(x) est un nombre et f une fonction, donc est-ce que je dois juste dire que puisque tous les nombres f^{(3)}sont les mêmes que f''(x) les fonctions sont les mêmes ?

Posté par
ririfabrere : Équation différentielle, dérivation et intégration 13-04-23 à 14:20

ririfabre

ririfabre @ 13-04-2023 à 14:19

ririfabre @ 13-04-2023 à 14:14

Pour la suite du 1, comment justifier que si f^{(3)}(x)=f''(x) on a aussi f^{(3)}=f''?
Quelle est la différence ?

Je sais que f(x) est un nombre et f une fonction, donc est-ce que je dois juste dire que puisque tous les nombres f^{(3)}sont les mêmes que f''(x) les fonctions sont les mêmes ?

Décidément!
...puisque tous les nombres f^{(3)}sont les mêmes que f''(x) les fonctions sont les mêmes ?

Posté par
lakere : Équation différentielle, dérivation et intégration 13-04-23 à 14:33

Pour des fonctions définies sur \mathbb{R}, écrire que pour tout x\in\mathbb{R} ,   f^{(3)}(x)=f''(x) revient à écrire que f^{(3)}=f''

Autre chose en 1) après dérivation, tu obtiens (x-1)(y^{(3)}-y'')=0 pour tout x réel ce qui permet de conclure qu'une fonction solution de l'équation différentielle de départ vérifie l'équation différentielle y^{(3)}-y''=0


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