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équation différentielle et méthode d Euler
Bonjour à tous,
J'ai un DM de maths à faire et malheureusement, je n'y arrive pas.J'ai pourtant cherché un certain temps.Pourriez-vous m'aider s'il vous plait?
Voici l'exercice 1:
Soit E1 l'ensemble des fonctions solutions de l'équation différentiele y'=y.
Soit E2 l'ensemble des fonctions solutions de l'équation différentielle y''=y.
Le but de l'exercice est de démontrer qu'il existe une unique fonction f qui appartient à E2, et qui vérifie f(0)=1 et f'(0)=0.
1/ Vérifier que les fonctions définies sur 
par [x]fleche2[/[e][/x]] et [x]fleche2[/[e][/(-x]] sont des éléments de E2.
2/ Soit f une fonction 2 fois dérivable sur , on pose u=f+f'.
Démontrer que f appartient à E2 si et seulement si u appartient à E1.
3/ Soit f un élément de E2. On pose, pour tout réel x, g(x)=f(x)e^x.
a/Démontrer que si f vérifie f(0)=1 et f'(0)=0, alors u(x)=e^x puis g'(x)=e^(2x).
b/Démontrer qu'il existe une seule fonction f répondant au problème posé et déterminer son expression.
excusez moi, j'ai parlé dans mon titre de la méthode Euler, mais je vais continuer à réfléchir sur le sujet avant de vous en parler.
Méthode directe, mais pas celle demandée.
y'' = y
p² = 1
p = +/- 1
y = B.e^x + C.e^-x
f(x) = B.e^x + C.e^-x
f(0) = 1 = B + C
f '(x) = (B-C).e^x
f '(0) = 0 = B - C
--> B = C = 1/2
La solution de E2 qui vérifie f(0)=1 et f'(0)=0 est:
y = (1/2).(e^x + e^-x)
----------
Méthode préconisée. (avec des imprécisions ???)
1/
x -> 2.e^x
f(x) = 2.e^x
f '(x) = 2.e^x
f ''(x) = 2.e^x
On a bien f''(x) = f(x) --> f(x) = 2.e^x est bien un élément de E2
---
x -> 2.e^-x
g(x) = 2.e^-x
g '(x) = -2.e^-x
g ''(x) = 2.e^x
On a bien g''(x) = g(x) --> g(x) = 2.e^-x est bien un élément de E2
------
2/
u = f + f '
u' = f ' + f ''
Si u appartient à E1, on a:
u' = u --> f + f ' = f ' + f ''
f = f '' et alors f appartient à E2.
---
u = f + f '
u' = f ' + f ''
Si u n'appartient pas à E1, on a:
u' différent u --> f + f ' différent f ' + f ''
soit
f différent f '' et alors f n'appartient pas à E2.
---
Donc: appartient à E2 si et seulement si u appartient à E1.
-----
3/
a)
f élément de E2 --> f'' = f
Poser g(x)=f(x).e^x.
g(x)=f(x).e^x.
g'(x) = f '(x).e^x + e^x(f(x))
g'(x) = e^x .(f '(x) + (f(x))
Si f(0)=1 et f'(0)=0 -->
g'(x) = e^x .(u'(x))
Avec u(x) = e^x (mais il faut le démontrer)
On a : g'(x) = e^x .e^x = e^(2x)
b)
g'(x) = e^(2x)
g(x) = (1/2).e^(2x) + K
f(x).e^x = (1/2).e^(2x) + K
f(x) = (1/2).e^(x) + K.e^(-x)
Et avec f(0) = 1 -->
1 = (1/2) + K
K = 1/2
--> f(x) = (1/2).(e^x + e^-x)
-----
reste à remettre cela correctement.
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