Re

Oui.
En supposant a et 2 inversible dans cet anneau, on peut refaire la même chose que d'habitude : réduction du trinôme sous forme canonique. On abouti alors qu'une condition nécessaire pour avoir au moins une solution est que le discriminant soit un carré (ce que l'on retrouve dans avec les réels).

Cela dit, la résolution générale de cette équation est je pense assez ardu.
En effet, si n n'est pas premier, l'anneau n'est pas intégre on peut avoir de tout : aucune solution, et s'il y en a, il peut y en avoir plus de 2.

Mais si n est premier, on a un corps et l'équation admet au plus deux solutions. De plus, dans ce cas, pour un n donné, sans même expliciter les solutions on peut dire s'il y en a ou pas, grâce au symbole de Jacobi ainsi qu'à la loi de réciprocité quadratique qui permet de déterminer si un certain entier est un carré modulo p, avec p premier.

Kaiser

Admettons que n soit premier, que j'arrive à factoriser (solution évidente ou "de force"), je trouve quelque chose du type .
Dans ce cas on se ramène à quelque chose de simple par intégrité du corps.

Dans le cas contraire, n non premier, cette factorisation ne nous dit rien ?

le lemme chinois est ici d'aucune utilité ?

Salut !

on peut faire un tous petit mieux que ce qu'annonce Kaiser, mais ca reste assez délicat quand meme :

déja : savoir résoudre l'equation dans Z/nZ c'est exactement savoir la résoudre dans Z/p^aZ en passant par le th chinois :

toute solution, dans Z/nZ, avec n = produit des pi^ai s'obtiens à partir d'une solution dans Z/(pi^ai)Z pour tous i.

pour ce qui est de la résolution dans Z/pZ, cf le post de Kaiser : si p est différent de 2, alors on n'a 1 racine si p divise le discriminant, 2 racine si le discriminant est une caré dans Z/pZ, et 0 racine sinon, dans tous les cas (via la loi de réciprocité quadratique). dela depend uniquement de la valeur de p modulo le discriminant (a part peut-etre si le discriminant vaut 2... dans qu'elle cas il faudrat regarder modulo 8) on à donc un nombre finit de cas à étudier....

pour la résolution dans Z/p^aZ, on commence par résoudre dans Z/pZ, si on obtiens aucune racine, alors il n'y a pas non plus de racine dans Z/p^aZ, si on obtiens une unique racine ... j'y réfléchirai apres...
si on obteins deux racine u et v (notons Q notre polynome...), alors on sait que les racines dans Z/p^aZ ont pour réduction modulo p u ou v, donc sont de la forme u+kp ou v+kp avec k un element de Z/pZ.

on calcule donc Q(u+kp)=a(kp)²+au²+2aukp+bu+bkp+c
et on obtiens une equation en k modulo p² de la forme w*p*k=t, on vérifie que t est divisble par p on divise par p et on est ramené à une equation modulo p, qu'on sais bien résoudre, et w est toujour non nul : il vaut 2au+b =Q'(u) non nul car u etait racine simple de Q.

on trouve donc encore deux racines dans Z/p^aZ !!!


j'ajouterai aussi que tous ces résultats peuvent s'obtenir de facon beaucoup plus elegante, mais aussi beaucoup moins elementaire en passant par l'étude de l'equation dans Qp (corps des nombre p-adique). (enfin c'est pas vraiment justifié ici... mais en ecrivant mon poste je pouvait pas m'empecher d'y penser...)

il est tard, je lis ton post demain Ksilver!

(comprendre, j'y réfléchis demain)

J'ai dis des conneri, j'ai traité que le cas a=2 la :S

enfin ceci dit le résultat énoncé (sur le nombre de solution...) est vrai pour a quelconque... mais il faut faire une récurence pour le prouver (... pour les coup ca commencerai à devenir interessant de parler de corps P-adique...)

(NB quand je dis a=2, je parle de a de p^a, pas de a de ax²+bx+c...  (je viens de me rendre compte que mes notation etaient ambigu)

enfin de totue facon ce que j'ai ecrit etait pas super claire... ce qu'il faut retenir c'est que "Oui" il y a un algorithme pour résoudre cela, qu'il fonctione surtous quand on fixe un polynome Q et qu'on fait varié n. qu'il est tres simple de donner le nombre de solution en fonction de n. mais que pour expliciter les racines il faut essentiellement savoir calculer une racine caré du discriminant dans Z/pZ pour tous les p divisants n, ce qui est assez complexe (mais il y a des algoritmes probabilitste assez efficace...)  (à partir de la on un algoritme utilisant uniquement des opération elementaire dans Z/nZ...)