Bonsoir ... et bienvenue sur l'île
Pour une aide plus efficace, peux-tu donner l'énoncé de l'exercice dans son intégralité ?
Et aussi nous dire ce que tu as tenté.

Bonjour,

Dans ce cas, qu'obtiens-tu en substituant tous les 'x' par des 'y+f(y)' ?

J'obtiens
f(y)=2-2y-f(y)
2f(y)=2(1-y)
f(y)=1-x

Mais quand je vérifie l'équation j'ai
f(x-f(y))=1-x-f(y)
=1-x-1=y
=-x+y
Donc ça marche pas

D'accord.
Avec a et b, ça te semblera peut-être moins farfelu.
Essaye de remplacer y par a et x par a + f(a) dans f(x-f(y)) = 2-x-y .

Messages croisés.
Je vais regarder ce que tu as posté.

Tu trouves 2f(y) = 2(1-y) pour tout y réel.
Ce qui donne f(y) = 1-y pour tout y réel..
D'où f(x) = 1-x pour tout x réel.

C'est bon ; donc tu fais une erreur dans ta vérification.

_{* Sylvieg edit pour corriger une erreur *}

C'est au début :
Avec f(x) = 1 - x, on a f(x - f(y)) = 1 - (x - f(y)) = ...

En effet merci !

Et dernière question : comment je justifie avoir pris x=y+f(y) ?

L'égalité est vraie pour tout x et y réels ; donc on peut remplacer x par une expression où figure y.
Après, comment avoir l'idée de procéder ainsi ?
Difficile de répondre.

J'avais cherché dans une autre direction sans avoir cette indication.
J'étais partie avec c = f(0) qui me permettait d'écrire
f(x-c) = 2 - x .
Puis j'ai remplacé x par x +c :
f(x) = 2 - (x+c)
f(x) = 2-c - x
J'ai ensuite réussi à trouver 2-c = 1.
Mais c'était plus long !

Bonsoir Sylvieg et lbrt2530

une seconde façon de procéder

Analyse :

Soit vérifiant .

Alors est clairement surjective vu la quantité prend toutes les valeurs réelles quand et décrivent .

En plus est injective car si alors et donc .

est alors une bijection de dans lui même et admet donc un antécédent unique ,

et comme pour tout réel , on voit que pour tout réel on a ,

en particulier pour on a et donc .


Synthèse :

La fonction vérifie bien notre équation fonctionnelle _{sauf erreur de ma part bien entendu}