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Équation logarithme népérien

Posté par
Yanis75016
03-02-21 à 15:50

Bonjour,
Je passe a l'oral la semaine prochaine sur l'exercice suivant:

Vrai ou faux;
L'équation ln(x)-(x/n)=0 , d'inconnue x, admet deux solutions pour tout entier n supérieur ou égal  à 3.

J'ai tenté de faire un tableau de variation mais le -x/n ne me le permet pas.
J'aimerais donc un peu d'aide svp.
Merci.

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 15:51

bonjour

montre ce que tu as fait ...

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 15:52

f_n(x) = \ln(x) - \dfrac{x}{n}

ensemble définition ?
dérivée ?
signe de la dérivée ?
variations ?
limites ?

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 16:10

Justement, j'ai un problème sur la dérivée, la limite et les variation de -x/n

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 16:12

Voilà ce que j'ai fait pour l'instant

** image supprimée **

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:01

qu'est ce que c'est que ce travail ?

tu ne sais pas dériver x/n ????

réfléchis un peu !

tu sais dériver 2x ? et -3x ? et x/2 ? et -x/3 ?

pour info je te rappelle que, par exemple,

\dfrac{x}{5}=\dfrac{1}{5} \times x

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:08

donc on recommence, et on ne poste pas d'image de calculs... on les écrit ici (tu pourras juste mettre une image du tableau de variations à la fin)

matheuxmatou @ 03-02-2021 à 15:52

f_n(x) = \ln(x) - \dfrac{x}{n}

ensemble définition ?
dérivée ?
signe de la dérivée ?
variations ?
limites ?
tableau complet ?

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:11

bon alors ?

f'n(x) = ????

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:16

f'n(x)=(-n+x)/n^2

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:18

Erreur de ma part
F'n(x)=(1/x)-(n+x)/n^2

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:18

n'importe quoi !

tu peux détailler ?

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:19

encore pire

tu peux me donner la dérivée de 2x ?

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:21

Oui c'est 2

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:22

et la dérivée de k.x où k est un nombre fixé ?

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:24

Si k est le coeff, alors la derivé est k

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:25

et la dérivée de (1/2).x ?

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:28

1/2

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:28

et la dérivée de x/2 ?

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:32

explique moi comment tu fais pour dériver x x/2

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:32

u=x
u'=1
v=2
v'=0
Donc, 2/4

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:34

en faisant (u'v-uv')/v^2

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:36

tu plaisantes j'espère !

tu sais, quand le tabouret est loin du piano, il est plus simple de déplacer le tabouret que le piano

tu as conscience que

\dfrac{x}{2} = \dfrac{1}{2} \times x ? (c'est vu au collège dans le cours sur les fractions)

donc dérivée de x/2 ?

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:37

(je t'ai posé la même question à 18:25 et à 18:28 ...)

normalement ça devrait donner la même réponse !

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:43

Oui c'est vrai j'y ai pas pensé.
(x/2)'=(1/2x)'=1/2

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:44

ah ben quand même

diviser par une constante, c'est aussi "multiplier par une constante" (son inverse ) !

bon alors, dérivée de x/n ?

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:46

(-x/n)'=-1/n

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:47

ouiiii !

bon alors

fn'(x) = ... ?

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:49

Donc f'n(x)= (1/x)-(1/n)

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 18:50

ah ben quand même ! oui c'est ça

maintenant résous proprement l'inéquation

fn'(x) 0 sur ]0 ; +[

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 19:04

x>=(1/n)x^2

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 19:06

incompréhensible !

je te demande de mener des calculs dont je veux voir le détail, expliqué avec rigueur, c'est à dire en appliquant des règles légales sur les inéquations !

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 19:10

(et, bêtement, je rappelle que la résolution d'une équation ou une inéquation consiste à isoler l'inconnue (ici x) )

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 19:11

(pour finir, je dirais aussi qu'en appuyant sur le bouton en bas de la fenêtre, on a tout un tas de symboles sympas, comme par exemple ) )

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 19:15

bon, c'est long... je vais quitter !

mets ton étude du signe f' correctement rédigé et on corrigera si besoin est...

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 19:15

          fn'(x)>=0
<=> (1/x)-(1/n)>=0
<=> (1/x)>=(1/n)
<=> x^2(1/x)>=(1/n)x^2
<=> (x/x^2)>=(1/n)

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 19:18

qu'est ce que c'est que ces x² qui arrivent sur le truc ?

quand tu as

1/x 1/n

tu peux pas multiplier par x (positif) dans les deux membres, puis par n (positif) dans les deux membres ?

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 19:21

tu dois avoir du mal en terminale S sans savoir calculer ?

tu peux aussi écrire que

f'_n(x) = \dfrac{n-x}{nx}

pour dire que cela a le même signe que (n-x) vu que le dénominateur est positif ... !

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 03-02-21 à 19:23

1/x1/n
n(x/x)x(n/n)
nx

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 04-02-21 à 14:26

donc variations de fn ?

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 04-02-21 à 19:09

Sachant que f'n est positif, fn est donc croissante

Posté par
matheuxmatou
re : Équation logarithme népérien 05-02-21 à 10:50

???

cela n'a pas de sens

... est croissante sur ....????

Posté par
Yanis75016
re : Équation logarithme népérien 05-02-21 à 19:10

fn est croissante sur R*

Posté par
FerreSucre
re : Équation logarithme népérien 06-02-21 à 12:36

La fonctione f est defini sur R_{+}^{*} donc difficile qu'elle soit croissante là on elle n'est pas défini ^^
En plus quand tu as :

1/x \geq 1/n

Tu dois avoir à la fin :

x \leq n pour que f'(x) \geq 0

Tu peux passer par la decroissance de la fonction inverse (si je dis pas de bêtises)



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