Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spé AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau maths spé
Partager :

Equation matricielle

Posté par
klux 21-05-11 à 19:14

Bonsoir,

Comme résoudre une équation matricielle du type M²=A où A est une matrice donnée non diagonalisable ?

Dans le cas où A est diagonalisable, la méthode générale consiste à remarquer que M et A commutent donc l'endomorphisme canoniquement associé à M stabilise les espaces propres de l'endomorphisme canoniquement associé à A ; d'où une équation matricielle beaucoup plus simple à résoudre.

Dans le cas où A n'est pas diagonalisable, comment faut-il s'y prendre ? En trigonalisant A ?

Merci d'avance.

Posté par
kluxre : Equation matricielle 22-05-11 à 10:42

Un exemple concret sera sûrement le bienvenue : je cherche les matrices 3$ M \in M_3(\mathbb{R}) telles que 3$ M^2=A avec 3$ A=\(\array{0&1&2\\0&0&0\\0&0&0}\).

3$ \text{Sp}(A)=\{0\} donc 3$ A n'est pas diagonalisable (car 3$ A n'est pas la matrice nulle) et 3$ E_0(A)=\text{Vect}\left(\(\array{1\\0\\0}\),\(\array{0\\-2\\1}\) \right).

Comment poursuivre ?

Posté par
Supernickre : Equation matricielle 22-05-11 à 11:10

M restreint à E0 vérifie M'² = 0 ça te fait déjà un bon paquet de solutions (matrices de trace + déterminant nul)
Ensuite il suffit de compléter E0 par une base de E et le calcul devrait déjà être plus simple

Posté par
kluxre : Equation matricielle 22-05-11 à 11:31

Merci d'avoir répondu Supernick.

J'avais déjà complété une base de 3$ E_0(A) en une base de 3$ \mathbb{R}^3 : 3$ (b)=\left( \(\array{1\\0\\0}\),\(\array{0\\-2\\1}\),\(\array{0\\1\\0}\) \right).

Dans cette base, la matrice de l'endomorphisme canoniquement associé à 3$ A est 3$ T=\(\array{0&0&1\\0&0&0\\0&0&0}\).

Et ensuite ?

Posté par
Supernickre : Equation matricielle 22-05-11 à 11:43

Lis aussi la 1ere partie de mon post...

Perso je trouve qu'il n'y a pas de solutions mais je peux me tromper

Posté par
kluxre : Equation matricielle 22-05-11 à 12:03

La première partie de ton post nous indique la "tête" de quatre coefficients de la matrice M, mais il reste à déterminer les autres...

Moi je trouve des solutions (en utilisant Maple).

Posté par
Supernickre : Equation matricielle 22-05-11 à 12:17

Comme M est stable par E0 tu as déjà les 2 coeff en dessous de M' qui sont nuls, il te reste 3 coeffs (x,y,z) à déterminer. z = 0 on est d'accord

Il t'en reste donc 2...

Posté par
kluxre : Equation matricielle 22-05-11 à 12:25

En procédant comme cela, je ne trouve pas de solution effectivement...

Où est l'erreur ?

Posté par
kluxre : Equation matricielle 22-05-11 à 12:43

J'ai trouvé : il y a une infinité de solutions.

Il s'agit des matrices de la forme 3$ M=\(\array{0&a&2a+b\\0&-\frac{2}{b}&-\frac{4}{b}\\0&\frac{1}{b}&\frac{2}{b}}\) où 3$ (a,b) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^*.

Posté par
Supernickre : Equation matricielle 22-05-11 à 12:55

Oui en effet le système
ax + cy = 1
bx - ay = 0 est incompatible si b ou a est non nul car bc + a² = 0


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !