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equation matricielle
Bonsoir
Dans un exo on cherche les matrices de Mn(R) tq M^2=M et Tr(M) = 0, dans le corrige on dit que X^2-X est un polynome annulateur scinde a racine simple don M est diagonalisable de plus la somme de ses valeurs propres vaut 0, jusque la je comprends , ensuite on dit que 0 est la seule valeur propre et donc M=0 , et je ne comprends pas cette derniere phrase, pourquoi ne pourrait il pas y avoir d'autres valeur propres qui s'annuleraient entre elles pour avoir une trace nulle ?
merci
Bonsoir, à la volée, un carré est toujours positif ou nul. Je serais donc tenté de dire que la diagonale est soit positive ( produit de négatifs ) soit nul.
Bonsoir. Je pense qu'on utilise plutôt le fait que la trace est un invariant de similitude. Donc la somme des valeurs propres vaut 0. Or celle ci sont à prendre dans les racines de ton polynôme annulateur i.e. dans {0,1} ...
Bonjour,
Comme l'a explique jarod128, les valeurs propres sont solutions du polynôme annulateur, donc appartiennt à ; bien entendu avec des degrés de multiplicités à déterminer.
Comme tu est sur , La trace est invariante, donc égale à la trace de la matrice diagonale. Donc ta ma matrice diagonale ne contiendra que des
et des
.
Suppose qu'elle contient valeurs propres
et
valeur propre
; avec
Détermine
Bonjour,
Je réponds à ceci :
pourquoi ne pourrait il pas y avoir d'autres valeur propres
n, un vecteur propre associé, donc non nul.
M
u = au.
D'une part M
(Mu) = Mau = aMu = aau = a2u.
D'autre part M
(Mu) = M2u = Mu = au.
Donc a2u = au. D'où a2 = a.
a = 1 ou 0.
Pour moi, tout ça date un peu ; donc mes notations sont peut-être un peu ollé ollé.
Bonsoir
j'ai finalement compris , en fait je confondais les proprietes des polynomes minimales, carateristiques et annulateur , en effet toutes valeurs propres est racine d'un polynome annulateur donc forcement elle est dans {0,1} , vu que X^2-X est de degre deux (la matrice etant de taille n x n) j'ai pense qu'il etait le polynome minimal que donc certes 1 et 0 sont des valeurs propres mais qu'il pouvait y en avoir d'autres (les racines du poly cara qui sont au nombre de n)
en tous cas merci a vous tous.
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