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Niveau maths spé
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Equation paramétrique d'une éllipse

Posté par
sort0
23-10-19 à 09:43

Bonjour,
dans la question III.1 de l'épreuve Physique 1 X PC 2007, il daut montrer que

x=(\delta cos(2\theta )+ R)cos(\theta )
y=(\delta cos(2\theta )+ R)sin(\theta )

est l'équation paramétrique d'une éllipse centrée en 0, de demi-axes R+\delta, R-\delta, et dont les axes sont confondus avec les axes Ox et Oy.

J'ai essayé de montrer que (\frac{x}{R+\delta})^2 +(\frac{y}{R-\delta})^2=1 sans succès.

Merci.

Posté par
larrech
re : Equation paramétrique d'une éllipse 23-10-19 à 10:07

Bonjour,

Ce n'est en aucun cas une ellipse. Cependant, comme souvent en Physique, si R est assez grand par rapport à \delta, ça a l'allure d'une ellipse, oui; avec laquelle on peut la confondre à "epsilon près".

Posté par
sort0
re : Equation paramétrique d'une éllipse 23-10-19 à 10:08

Précision : dans le sujet on dit "le bord de la paroi du verre est d'allure elliptique" (un point M tel que (Ox,OM)=\theta du bord de la paroi du verre a ses coordonnées données par l'equation paramétrique). Ce n'est donc peut-être pas une vraie ellipse... Qu'en pensez vous ?

Equation paramétrique d\'une éllipse

Posté par
sort0
re : Equation paramétrique d'une éllipse 23-10-19 à 10:09

Ah d'accord merci bien larrech!

Posté par
larrech
re : Equation paramétrique d'une éllipse 23-10-19 à 10:13

C'est ce que j'ai dit : si R est grand par rapport à \delta, c'est "d'allure elliptique", oui (à démontrer).

Mais si vous prenez \delta=2, R=3 regardez ce que ça donne, par exemple avec Geogebra.

Posté par
larrech
re : Equation paramétrique d'une éllipse 23-10-19 à 10:14

De rien, nos messages se sont croisés.

Posté par
sort0
re : Equation paramétrique d'une éllipse 23-10-19 à 10:15

Oui au temps pour moi je n'avais pas encore vu votre message lorsque j'ai posté le mien, Merci !

Posté par
matheuxmatou
re : Equation paramétrique d'une éllipse 23-10-19 à 10:18

bonjour

pour R=10 et =1

en rouge ta courbe paramétrée
en bleu l'ellipse

Equation paramétrique d\'une éllipse

Posté par
matheuxmatou
re : Equation paramétrique d'une éllipse 23-10-19 à 10:20

et d'ailleurs si R est grand par rapport à delta, je ne vois aucune raison que ce soit une ellipse avec ces paramètres... ce serait alors plutôt un cercle de rayon R

ah, ces physiciens !

Posté par
sort0
re : Equation paramétrique d'une éllipse 23-10-19 à 10:31

Merci mateuxmatou,

on a en effet dans le sujet R>>\delta, et dans ce cas, je pense qu'on peut montrer l'allure elliptique en disant

\frac{\delta cos(2\theta) +R}{R+\delta}=\frac{\delta(cos(2\theta)-1)}{R+\delta}+1~1
et de même
\frac{\delta cos(2\theta) +R}{R-\delta}~1

donc on a l'approximation de l'ellipse voulue.

Posté par
sort0
re : Equation paramétrique d'une éllipse 23-10-19 à 10:33

mais c'est vrai que c'est aussi l'approximation d'un cercle

Posté par
carpediem
re : Equation paramétrique d'une éllipse 23-10-19 à 13:07

salut

on a tout simplement x^2 + y^2 = [r + d \cos (2t)]^2 = r^2 + o(r^2) où o(r^2) est négligeable devant r^2

Posté par
larrech
re : Equation paramétrique d'une éllipse 23-10-19 à 13:57

Le sujet porte sur la déformation de la paroi d'un verre à pied, de forme circulaire au repos, sous l'action de manipulations que la décence m'interdit de décrire.

Cela étant, si c'est pour répondre "te casses pas, y a rien à voir, ça reste un cercle" c'est bien décevant...

Posté par
carpediem
re : Equation paramétrique d'une éllipse 23-10-19 à 14:34

effectivement il est préférable que le verre ne se casse pas ... d'autant plus s'il est rempli d'un délicieux nectar ...



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