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Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c"

Posté par
DRK5 10-12-11 à 21:49

Bonsoir, je requiers votre aide pour la résolution de l'équation trigonométrique suivante :

3 cos x + 2 sin x = 2

Il s'agit d'une équation du type "a.cos x + b.sin x = c"
Donc :

3 cos x + 2 sin x = 2

Je vérifie au préalable que c2 ≤ a2 + b2 -> 4 ≤ 13
Je pose tg(θ) = b/a = 2/3 ( θ = arctg(2/3) et b/a ∈ ]-π/2 ; π/2[ )
Et je divise l'équation par 3 (le a), L'équation devient :

3 cos x + (2/3).sin x = 2/3

Je multiplie par cos(θ)

3.cos x.cos(θ) + sin x.sin(θ) = 2.cos(θ)

A partir de là je bloque, car d'habitude, le θ donne une valeur particulière (donc ronde), et le a (ici 3) vaut 1. De là les transformations étaient toujours aisées, mais ici je ne vois pas comment simplifier sans aller à l'arrache avec la calculatrice.

Merci

Posté par
jacqlouisre : Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c" 10-12-11 à 21:57

    Bonsoir . Pourquoi TOUT n'est-il pas divisé par 3 ?...
            3 cos x + (2/3).sin x = 2/3    ? ...

Posté par
DHilbertre : Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c" 10-12-11 à 22:05

L'on pose A=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}, si bien que l'on peut définir \phi comme vérifiant \cos\phi=\frac{3}{\sqrt{13}} et \sin\phi=\frac{2}{\sqrt{13}}. Au final, l'on trouve

\cos(x-\phi)=\cos\phi\cos x+\sin\phi\sin x=\frac{2}{\sqrt{13}}

Je te laisse finir !

A +

Posté par
PatatorHum 10-12-11 à 22:10

En francais sa donne donc?

Posté par
DHilbertre : Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c" 10-12-11 à 22:12

@Patator : Si c'est à moi que s'adresse ce message, je pense avoir été assez explicite.

A +

Posté par
Patatorhum2 10-12-11 à 22:15

Excuse moi j'aurai du reformuler; mais peux tu explique à quoi coresspond ton "A" car personellement je n'ai jamais vu ce "A" dans mes cours pour ce genre de résolution...

Tu saurais développer? ca m'intéresse aussi

Posté par
DHilbertre : Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c" 10-12-11 à 22:21

Le but est de mettre ici 3\cos x+2\sin x sous la forme A\cos(x-\phi). Mais, peut-être ai-je commis une erreur qui m'échappe.

A +

Posté par
DRK5re : Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c" 10-12-11 à 23:13

Merci

En effet j'ai fait une petite erreur, c'était bien :

cos x.cos(θ) + sin x.sin(θ) = (2/3).cos(θ)

Je n'ai pas très bien compris le "A" posé par DHilbert, j'ai procédé d'une autre manière toute aussi valable :

On a : cos(x - θ) = (2/3). cos(θ)

Connaissant tg(θ), on peut trouver cos(θ) par la formule : 1 + tg2(θ) = 1/cos2(θ)
Par transformation, cos(θ) = (313)/13

L'équation devient : cos(x - θ) = (213)/13

Il ne reste qu'à trouver les solutions : x - θ = arccos((213)/13) + 2k ou x - θ = -arccos((213)/13) + 2k
L'emploi de la calculatrice devient alors nécessaire.

Posté par
DHilbertre : Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c" 11-12-11 à 07:03

Ouah !!!!! Tu as 3\cos x+2\sin x=2, de sorte que

\dfrac{3}{\sqrt{13}}\cos x+\dfrac{2}{\sqrt{13}}\sin x=\dfrac{2}{\sqrt{13}}. Posons alors \cos\phi=\dfrac{3}{\sqrt{13}} et \sin\phi=\dfrac{2}{\sqrt{13}}. Remarquons au passage que \phi est tel que \tan\phi=\dfrac{2}{3}.

Au final, l'on doit résoudre :

\cos(x-\phi)=\frac{2}{\sqrt{13}}

Cette équation admet des solutions, car 0<\dfrac{2}{\sqrt{13}}<1. D'autre part, l'on a :

\cos(\frac{\pi}{2}-\phi)=\sin\phi=\frac{2}{\sqrt{13}}. En conséquence, il est alors clair que :

\cos(x-\phi)=\cos(\frac{\pi}{2}-\phi)

Soit :

x\equiv \frac{\pi}{2}\quad [2\pi]

Ainsi n'as-tu plus de A qui te laisse sans voix.

A +

Posté par
DHilbertre : Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c" 11-12-11 à 07:44

J'oubliais ! Il se peut que tu ne comprennes pas la relation x\equiv\dfrac{\pi}{2}\quad[2\pi]. Pas de panique. Désignons par S l'ensemble des solutions de l'équation. Alors :

S=\{\frac{\pi}{2}+2k\pi\vert k\in\Z\}

Voilà. Tout est dit, ou presque ...

Posté par
DHilbertre : Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c" 11-12-11 à 08:05

Ah, la vieillesse. Tu auras remarqué que j'ai oublié le cas où x-\phi=(-\dfrac{\pi}{2}+\phi)+2k\pi, avec k dans \Z. Cela résulte de ce que la fonction \cos est une fonction paire. Par conséquent, l'on a :

S=\{\frac{\pi}{2}+2k\pi\vert k\in\Z\}\cup\{2\phi-\frac{\pi}{2}+2k\pi\vert k\in\Z\}


A +

Posté par
DRK5re : Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c" 11-12-11 à 11:11

J'ai compris, procéder comme cela nous permet de ne pas avoir recours à la calculatrice et à des nombres compliqués.
En revanche, je n'ai jamais vu ce "A" avant, utilises-tu une formule ou un raisonnement particulier pour arriver à 13 ?
Je vois que tu fais la racine carrée de la somme de "a" au carré et "b" au carré, mais je ne comprends par la relation avec l'exercice.
Et est-ce que cette méthode est valable pour toutes les équations du genre ?

Posté par
DHilbertre : Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c" 11-12-11 à 16:29

@DRKS : Pour résoudre une équation en x du type a\cos x+b\sin x=c, où a, b et c sont des réels (je passe sur les détails), tu poses R=\sqrt{a^2+b^2}, si bien que l'on trouve :

\dfrac{a}{R}\cos x+\dfrac{b}{R}\sin x=\dfrac{c}{R}

Si \vert\frac{c}{R}\vert>1, l'équation n'a aucune solution. Sinon, l'on pose \cos\phi=\frac{a}{R} et \sin\phi=\frac{B}{R}. Ensuite, tu connais...

Oui, il s'agit bien de la méthode générale pour résoudre ce type d'équations.

A +

Posté par
DHilbertre : Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c" 11-12-11 à 16:40

Lire : \sin\phi=\frac{b}{R}.

Cela me gonfle franchement de ne pas avoir la main sur mon code \tau_{\epsilon}\chi et le modifier afin de ne pas polluer ce site inutilement.
A +

Posté par
DRK5re : Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c" 11-12-11 à 16:46

Merci en tous cas

Posté par
DHilbertre : Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c" 11-12-11 à 16:58

Citation :
Merci en tous cas


Peux-tu préciser ta pensée ?

A +

Posté par
DRK5re : Equation trigonométrique du type "a.cos x + b.sin x = c" 11-12-11 à 22:17

Eh bien je n'avais jamais vu cette méthode auparavant, et je ne crois pas à avoir besoin de l'appliquer normalement Mais sur un exercice du genre, ça permet d'avoir un sacré raccourci pour la solution.


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