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équations avec ln et e^

Posté par SABYNE (invité) 28-11-04 à 00:34

j'ai des soucis avec les équations
aidé moi à les resoudre
e^(-3x+1)+1=0
-4e^(-x+4)+3=0
-2 ln (3x-2)=0
merci d'avance

Posté par
Nightmarere : équations avec ln et e^ 28-11-04 à 00:49

Bonjour quand même

1)\mathrm{e}^{-3x+1}=0\Longleftrightarrow \mathrm{e}^{-3x+1}=-1
Or , \rm\forall X\in\mathbb{R}~,~\mathrm{e}^{X}>0 donc l'équation n'a aucune solution réelle

3$\fbox{S=\empty}

2)
\begin{tabular}-4\mathrm{e}^{-x+4}+3=0&\Longleftrightarrow&-4\mathrm{e}^{-x+4}&=&-3\\&\Longleftrightarrow&\mathrm{e}^{-x+4}&=&\frac{3}{4}\\&\Longleftrightarrow&\mathrm{e}^{-x+4}&=&\mathrm{e}^{ln(\frac{3}{4})}\\&\Longleftrightarrow&-x+4&=&ln(\frac{3}{4})\\&\Longleftrightarrow&x&=&4-ln(\frac{3}{4})\end{tabular}
On a donc :
3$\fbox{S=\{4-ln(\frac{3}{4})\}}

Je te laisse faire , du moin ,essayer de faire le 3éme


Jord

Posté par
Nightmarere : équations avec ln et e^ 28-11-04 à 00:58

Re

Juste un petit complément pour la 1)

Si on se place dans le corps complexe :
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1

Donc notre équation devient :
\begin{tabular}\mathrm{e}^{-3x+1}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}&\Longleftrightarrow&-3x+1&=&\mathrm{i}\pi\\&\Longleftrightarrow&x&=&\frac{1}{3}(1-\mathrm{i}\pi)\end{tabular}

Soit :
2$\fbox{S_{\mathbb{C}}=\{\frac{1}{3}(1-\mathrm{i}\pi)\}}

Posté par
Belge-FDLEre : équations avec ln et e^ 28-11-04 à 01:06

Salut ,

Je vais faire de mon mieux pour t'aider :

C'est parti pour la première équation :

2$\rm~e^{3x-1}+1~=~0
SSI  2$\rm~e^{3x-1}~=~-1

Or, ceci est impossible car la fonction exponentielle est strictement positive.
Cette équation n'a donc pas de solution dans l'ensemble des réels.

Attaquons la seconde :

2$\rm~-4~e^{-x+4}+3=0
SSI  2$\rm~-4~e^{-x+4}~=~-3
d'où  2$\rm~e^{-x+4}~=~\frac{3}{4}
donc  2$\rm~-x+4~=~ln(\frac{3}{4})
ainsi  2$\rm~-x~=~ln(3)-ln(4)-4
enfin  2$\rm~x~=~ln(4)-ln(3)+4

Poursuivons avec la troisième :

2$\rm~-2~ln(3x-2)=0
SSI  2$\rm~ln(3x-2)=0
d'où  2$\rm~3x-2=e^0
càd  2$\rm~3x-2=1
par suite  2$\rm~3x=3
donc  2$\rm~x=1

Et voilà .
Si tu as des questions, n'hésite pas .

À +

Posté par
Belge-FDLEre : équations avec ln et e^ 28-11-04 à 01:13

Oupsss, désolé Nightmare, je n'avais pas vu ton message .

Posté par
Nightmarere : équations avec ln et e^ 28-11-04 à 01:22

Lol ce n'est pas grave au contraire , deux réponses valent mieux qu'une

Juste une précision pour éviter toutes confusions de la part de SABYNE :

4-ln(\frac{3}{4})=4-[ln(3)-ln(4)]=ln(4)-ln(3)+4

Nos réponses sont donc égales , juste écrites sous formes différentes

Posté par
siOkre : équations avec ln et e^ 28-11-04 à 10:04

Bonjour


-> pour Nightmare

Je reste dubitatif devant l'équivalence  

e^{3x-1}=e^{i\pi} \Longleftrightarrow   3x-1=i\pi

Par exemple:
e^{i\pi}=e^{3i\pi} et pourtant 3i\pi et i\pi ne sont pas égaux.

Posté par
Belge-FDLEre : équations avec ln et e^ 28-11-04 à 15:15

Salut siOk ,

C'est vrai, tu as raison, on aurait alors plutôt dans le corps des complexes :

2$\rm~e^{-3x+1}~=~-1
SSI  2$\rm~e^{-3x+1}~=~e^{i(\pi~[2\pi])}
d'où  2$\rm~-3x+1~=~i(\pi~[2\pi])
càd  2$\rm~-3x~=~i(\pi~[2\pi])-1
donc  2$\rm~x~=~\frac{1}{3}(1-i(\pi~[2\pi]))

Voilà, maintenant, je pense que c'est juste .

À +

Posté par
siOkre : équations avec ln et e^ 28-11-04 à 19:47

Bonjour  Belge-FDLE,


"je pense que c'est juste" ... je ne suis pas d'accord

Il me semble qu'il y a des difficultés.



Erreur de calcul modulo 2\pi
Prenons  e^{i3x}=e^{i\pi}  où x est un réel.
donc 3x=\pi+k\times 2\pi
donc x=\frac{\pi}{3}+k\times \frac{2\pi}{3}



Logarithme complexe ?
Dans les calculs précedents, il y a une grosse difficulté lors du passage de  e^{-3x+1}=e^{i\pi} à -3x+1=i\pi+k\times2\pi
Il est implicitement utilisé une "fonction logarithme complexe" ... mais comment est-elle définie ? Sur quel ensemble de nombre est-il possible de la définir ?


Ce n'est peut-être pas si simple
Si cette fonction réciproque existait pour tout complexe avec les mêmes propriétés que dans les réels, comme e^{i\pi}=e^{i3\pi} en l'appliquant à chaque membre ...
on en déduirait:   \pi=3\pi

Posté par
Belge-FDLEre : équations avec ln et e^ 28-11-04 à 21:22

Salut siOk ,

Je suis d'accord avec toi, pour ce qui est du logarithme complexe, cependant, je ne pense pas avoir effectuer d'erreur de calcul de modulo : regarde bien mes parenthèses, le modulo à la première ligne ne s'applique qu'à 2$\pi et non à 2$i\pi, ce qui serait faux (j'avais d'ailleurs fait cette erreur de recopier mon message, mais je l'ai corrigée avant de le poster ).

Je m'explique pour le modulo (en admettant le "logarithme complexe" juste , on s'en occupera après) :
2$\rm~e^{-3x+1}~=~-1
avec la formule d'Euler  2$\rm~e^{-3x+1}~=~e^{i(\pi~[2\pi])}~=~e^{i(\pi+2k\pi)}
d'où avec le "log complexe"   2$\rm~-3x+1~=~i(\pi+2k\pi)
càd  2$\rm~-3x~=~i(\pi+2k\pi)-1
ainsi  2$\rm~x~=~-\frac{i(\pi+2k\pi)-1}{3}

Donc  2$\rm~\begin{tabular}{|c|}\hline~x~=~\frac{1-i(\pi+2k\pi)}{3}\\\hline\end{tabular}

Je n'ai pas eu besoin d'"altérer" le modulo, car il était en tant que facteur et non en temps que terme. Il suffisait donc d'appliquer la division par 3 à l'un de ses facteurs (i par exemple), pour ne pas avoir à le modifier. Maintenant, il est sûr, que si je dévellope le tout, je me retrouve bien avec

2$\rm~x~=~\frac{1}{3}-\frac{i\pi}{3}-i\frac{2}{3}k\pi

Mais je trouvais plus simple de laisser ma première écriture .

Maintenant, pour ce qui est du logarithme complexe, en effet, si il existe, il n'aura pas les mêmes propriétés que celui des nombres réels. En fait je pense même qu'il faudrait parler du logarithme imaginaire, puisque si l'on écrit le complexe en question sous forme algébrique on aura :

2$\rm~e^{a+ib}~=~e^a\times~e^{ib}

On arrive à ramener la partie réelle à un logarithme réel grâce aux propriétés des exponentielles. Il faudrait donc juste s'intéresser à ce "logarithme imaginaire". D'après la formule d'Euler on a :

2$\rm~e^{ix}~=~cos(x)~+~i~sin(x)

On voit ainsi que l'exponentielle imaginaire est 2$2\pi-périodique. La fonction logarithme imaginaire (si elle existe) serait la réciproque de cette exponetielle imaginaire, et serait donc par conséquent également 2$2\pi-périodique.

Or, la seule raison pour laquelle, on peut dire que :

2$\rm~e^{x}~=~e^{y}~~~~(x~et~y~\in~\mathbb{R})
SSI  2$\rm~e^{x}~=~e^{y}

c'est parce-que l'exponentielle naturelle est strictement croissante sur l'ensemble des réelles.

Comme dans l'ensemble des imaginaires, cette exponentielle est périodique, cette égalité dans l'ensemble des imaginaires devrait être accompagnées d'un modulo. C'est ce que j'ai fait pour résoudre cette équation, en pensant que c'était une bonne idée .Maintenant, je peux également me planter totalement .

IMPORTANT : Attention, tout ce que je viens de dire sur l'exponentielle imaginaire et ce logarithme imaginaire ne sont que des idées qui me semblent justes, mais il se peut très bien que je me plante totalement. Tout ce que je viens d'écrire est donc à prendre avec des pincettes (voire à ne pas prendre du tout ). Je ne suis pas du tout sûr de la totalité de ce que je viens d'écrire.

Voilà , et je pense que même si les méthodes que j'emploie pour résoudre cette équation peuvent paraître pour le moins tordues , il me semble que le résultat est juste.

À +

Posté par SABYNE (invité)merci 29-11-04 à 01:13

bonsoir à tous
j'ai enfin compris comment faire les équations grace à votre aide
je ne sais pas comment vous remercier. en outre les fonction j'ai pas encore bien compris
Bisous à tous


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