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Equations cartesiennes

Posté par
Kuarcha 23-04-07 à 18:05

Bonjour, je dois rendre un dm, et je ne suis pas sur à une question, je vous donne mes résultats:

On considère les 3 vecteurs:

u1=(1,-1,2), u2=(-3,2,-9), u3=(1,-3,-4), et on cherche une équation cartesienne de E=Vect(u1,u2,u3).

Je suis partis du fait que si (x,y,z)=q€E, alors il existe a, b et c tel que :

4$ au1+bu2+cu3=q, ce qui équivaut au système:

4$ \.\array{rcl$a-3b+c&=&x\\-a+2b-3c&=&y\\2a-9b-4c&=&z}\}

après je pensais le résoudre, mais j'ai du mal à voir à quoi ca m'avance, pouvez vous m'aider? merci d'avance

(NB:je suis en L1 de maths/physique/informatique)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equations cartesiennes. 23-04-07 à 19:05

Bonjour Kuarcha ;
Si je ne me trompe on a \fbox{Det(u_1,u_2,u_3)=-35+35=0} donc les vecteurs u_1 , u_2 et u_3 sont linéairements dépendants en écrivant u_3=au_1+bu_2 on trouve facilement que \fbox{u_3=7u_1+2u_2} d'où \fbox{E=Vect(u_1,u_2,u_3)=Vect(u_1,u_2)}
\fbox{q=(x,y,z)\in E\hspace{5}\Longleftrightarrow\hspace{5}Det(q,u_1,u_2)=0}
en développant ce déterminant par rapport à sa première colonne on trouve 2$\blue\fbox{E\hspace{5}{:}\hspace{5}5x+3y-z=0} (sauf erreur)

Posté par
Kuarchare : Equations cartesiennes 23-04-07 à 21:33

Désolé du retard pour répondre, elhor_abdelali, merci d'avoir répondu, je comprend que ils soient linéairement dépendant, donc que Vect(u1,u2,u3)=Vect(u1,u2), mais comme on n'a pas fait les déterminants, je vois pas trop trop comment tu as trouvé l'équation, pourrais tu me réexpliquer s-il te plait? merci d'avance

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Equations cartesiennes. 23-04-07 à 23:25

On peut le montrer sans passer par les déterminants en effet vu que E=Vect(u_1,u_2) et que u_1 et u_2 sont linéairemant indépendants
E est un plan vectoriel de \mathbb{R}^3 il admet donc une équation cartésienne de la forme \fbox{E\hspace{5}{:}\hspace{5}ax+by+cz=0\\(a,b,c)\neq(0,0,0)} et comme il contient u_1 et u_2 tu as les équations \fbox{a-b+2c=0\\-3a+2b-9c=0\\(a,b,c)\neq(0,0,0)} ce qui donne \fbox{a=-5c\\b=-3c\\c\neq0} d'où \fbox{E\hspace{5}{:}\hspace{5}-5cx-3cy+cz=0\\c\neq0} c'est à dire 3$\blue\fbox{E\hspace{5}{:}\hspace{5}5x+3y-z=0}

Posté par
lafol Moderateurre : Equations cartesiennes 24-04-07 à 13:38

Bonjour
une autre piste : à partir de ton système 4$ \.\array{rcl$a-3b+c&=&x\\-a+2b-3c&=&y\\2a-9b-4c&=&z}\}, utiliser une méthode genre pivot de Gauss, la dernière ligne finira par ressembler à 0= combinaison linéaire de x, y, z : là voilà, ton équation.


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