Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Équations dans M2(R)
Bonjour à tous,
Dans la suite de mes révisions, je me suis attaqué à l'algèbre et j'ai toujours du mal à résoudre des problèmes simples où il faut utiliser les questions précédentes. Mon problème est le suivant:
On confond et
.
Soit R l'ensemble des matrices A de telles que
.
1.R est-il un sous espace vectoriel de ?
Non parce qu'il ne contient pas 0.
2.Soit M
R et PGL2(R). Montrer que R.
(PMP-1)^2=PMP-1PMP-1=PM^2P-1=PP^-1=I2
3.Déterminer l'ensemble des matrices diagonales qui appartiennent à R.
On prend une matrice diagonale quelconque = donc au carré =
donc les matrices diagonales qui vérifient cette relation sont les 4 matrices avec a=
1 et b=1.
Dans les questions qui suivent u est l'application canoniquement associée à A. (u(X)=AX).
4. Quel type de transformation géométrique est l'application u?
Je n'ai jamais très bien compris ce genre de questions avec les matrices mais je crois que c'est une symétrie.
5. Montrer que (u-Id)o(u+Id) est l'application nulle.
On développe et on obtient u^2-Id=0 d'après la définition de u.
6. Montrer que =Ker(u-Id)
Ker(u+Id).
Je ne sais pas trop comment faire, si quelqu'un avait une méthode claire et nette, je le remercierais parce que je me perds toujours à vérifier pleins de choses comme Ker(u-Id)
Ker(u+Id)={0} et après je ne sais jamais quoi vérifier ou comment le vérifier.
7. En déduire qu'il existe une base de dans laquelle la matrice de u est égale à I2, - I2 ou D=
Montrer que A=I2 ou A=-I2 ou qu'il existe P appartenant à GL2(R) telle que A=PDP-1.
J'ai du mal à comprendre la question. Dois-je trouver une base unique dans laquelle la matrice de u vaut toutes ces matrices là ou pour chaque matrice dois-je trouver la base qui marche? Parce que je ne vois pas comment avec une seule base, les matrices de l'application pourraient être différentes. 
Je sais que cette transformation est une symétrie donc si on parle "concrètement" une base simple dans laquelle exprimer u serait un vecteur qui dirige l'axe de symétrie (en gros un vecteur X qui appartient à Ker(u-Id) et un autre vecteur Y qui est perpendiculaire à la droite et qui est transformé en son opposé, Y appartient à Ker(u+Id).
Donc pour moi, la matrice est (1 0 et je ne vois pas comment obtenir +-I2
0 -1).
Merci d'avance, 
Bonjour,
c'est quoi M2,1? Dans ma tête c'est l'ensemble des matrices 2x1 donc 2 lignes et une colonne, ce qui fonctionne avec l'idée que ce soit comparable à R^2.
Je ne vois pas comment on peut donc avoir A^2=I dans un tel cas.
Vous avez tout à fait raison. Je me suis trompé, c'est A(
).
Et je crois peut-être avoir trouvé une solution pour la question 7
Si on considère la base (X,Y)(Ker(u-Id),Ker(u+Id)), la matrice de u dans cette base s'écrira .
Si on considère la base (u(X),u(Y)), la matrice s'écrira .
Si on considère la base (-u(X),-u(Y)), la matrice s'écrira .
Mon raisonnement est-il juste? Je ne suis pas sûr que u(X) et u(Y) soit une base de á moins que je dise que puisque
, A est son propre inverse donc elle est inversible et u est donc un automorphisme (involutif), ce qui implique que puisque (X,Y) est une base de R^2, (u(X),u(Y)) l'est aussi.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac