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équations différentielles

Posté par emy_m75 (invité) 29-12-04 à 16:32

Bonjour,
J'ai eu une série d'équations différentielles à résoudre mais je bloque pour deux d'entre elles, les voici:
(x²+2y²)y'-2xy=0
y'sinx-ycosx=sin²x
Pour la première, en développant, je me retrouve bloquée avec les carrés, et la seconde, malgré les formules trigonométriques que j'utilise, je n'arrive pas à trouver un résultat satisfaisant.
Voilà, je remercie d'avance ceux qui pourront m'aider.
Emilie.

Posté par lulune (invité)re équations différentielles 29-12-04 à 18:06

Bonjour bonjour,

Je ne sais pas ce que tu entends par développer l'équation mais je pense qu'il ne faut pas développer cad :

( x² + 2y² )y' - 2xy = o
( x² + 2y² )y' = 2xy
y' = ( 2xy) / ( x² + 2y² )

les solutions sont les fonctions de la forme :
x----> ke^ 2xy / ( x²+ 2y²)

pour la deuxième équation :

y'sinx - ycosx = sin²x
y'sinx = sin²x + ycosx
y' = sinx + y(cosx / sinx )

les solutions sont les fonctions de la forme :
x----> ke^(cosx/sinx) - sin²x/cosx

J'espère que j'ai pu un peu t'aider je ne suis pas sûre totalement de résultats. Les résultats te semblent ils cohérents ? Bonne soirée

Posté par emy_m75 (invité)re: 29-12-04 à 18:54

Bonjour,

Merci pour votre aide. En ce qui concerne la première équation, il me semble bizarre qu'on puisse laisser des y dans l'écriture de l'équation de la fonction puisqu'à la base, on doit obtenir une écriture de la forme y'=ay+b or, ici, ce n'est pas le cas et je ne voit pas comment isoler le y et y².
Enfin, pour la seconde équation, a est normalement un réel car y'=ay-(b/a), mais je ne pense pas que cos x/sin x soit réel car j'étais allée juste là, mais cela m'a paru bizarre que l'on puisse écrire ça. En tout cas, si je considère cette hypothèse vrai, alors je suis d'accord avec votre réponse.
Toujours dans la deuxième équation, considérons y'=sinx + (cosx/sinx)y.
On a donc l'écriture y'=ay+b. Les solutions de l'équation devraient donc être de la forme y= Ce(ax)- (b/a). Donc si a= (cosx/sinx), peut-on écrire (cosx / sinx)x ou alors laissons de côté le x après le a ?
Voilà, j'espère avoir été assez claire dans mes explications. Merci.
Emilie

Posté par re : équations différentielles 29-12-04 à 19:04

Je ne suis pas d'accord avec lulune. Prenons la deuxième équation telle qu'elle l'a écrite
y' = sinx + y(cosx / sinx )
Déjà sa méthode ne marche que pour l'équation homogène, c'est-à-dire y' = y(cosx / sinx ), et en plus elle a commis une ereur car la solution dans ce cas est
$\exp $\int_0^x\frac{\cos t}{\sin t}$dt$ .

Reprenons du début et cherchons déjà une solution pour l'équation homogène: y'sinx-ycosx=0
En intégrant $\frac{y^'}{y}=\frac{cosx}{sinx}$ on a: $\ln (y)=\int_0^x\frac{\sin(t)}{\cos(t)}dt=\ln(|\sin(x)|)+c$
et finalement $y(x)=k\sin(x)$

Maintenant cherchons la solution de l'équation demandée en posant $y(x)=k\sin(x)u(x)$ . On dérive y: $y^'(x)=k\cos(x)u(x)+k\sin(x)u^'(x)$ et on remplace dans l'équation initiale:
$k\cos(x)\sin(x)u(x)+k\sin^2(x)u^'(x)-k\sin(x)\cos(x)u(x)=\sin^2(x)$ . Il nous reste $k\sin^2(x)u^'(x)=\sin^2(x)$ et on en déduit que $u^'(x)=\frac{1}{k}$ d'où $u(x)=\frac{x}{k}$ .

On arrive finalement au résultat $y(x)=x\sin(x)$

Posté par emy_m75 (invité)re: équations différentielles 29-12-04 à 19:42

Bonsoir isisstruiss,

Merci beaucoup pour ton explication sauf que tu t'es trompé dans l'écriture de l'équation! c'est y'sinx-ycosx=sin²x et non y'sinx-ycosx=0 (c'est celle que vous avez prise)
Et pour la première équation, qu'en avez-vous pensez ?
Merci d'avance.
Emilie

Posté par re : équations différentielles 29-12-04 à 20:05

Non, je ne me suis pas trompée. J'ai résolu d'abbord y'sinx-ycosx=0 puis je me suis aidée de la solution de cette équation pour trouver celle de l'équation y'sinx-ycosx=sin²x.

Pour la première j'ai jeté un coup d'oeil et j'ai pas trouvé. Celà fait très longtemps que je n'ai plus fait d'équa. diff., je fais bien de reviser un peu... Il y a peut-être quelqu'un d'autre qui pourra t'aider.

Posté par emy_m75 (invité)re : équations différentielles 29-12-04 à 20:13

et bien merci beaucoup pour votre aide isisstruiss!!!
elle m'aura tout de même été très précieuse!
Merci

Posté par re : équations différentielles 29-12-04 à 20:30

De rien. Je viens de voir que j'ai oublié la constante en intégrant u'. Je reprends la fin: $u(x)=\frac{x}{k}+c$ d'où $y(x)=k\sin(x)u(x)=k\sin(x)(\frac{x}{k}+c)=x\sin(x)+\tilde{c}\sin(x)$

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