Bonjour.

1°) Remplace y par u dans l'équation

Bonjour,
Voilà ce que j'ai fait :
1)a- u(x)=xe^2x
u'(x)-2u(x)=e^2x-2xe^2x
u'(x)-2u(x)=e^2x(1-2x)
u'(x)-2u(x)=(y'-2y)(1-2x)

Donc u(x) solution de (E) ? Dois-je aller plus loin ? Me suis-je trompée ?

b- y'-2y=0
e^2x=0
e^2x=0¹ ??? Ai-je le droit de continuer ainsi ??
Merci d'avance de votre aide

1°) a.

u(x) = xe^2x

u'(x) = e^2x + 2xe^2x

u'(x) - 2u(x) = e^2x + 2xe^2x - 2xe^2x = e^2x

Donc, u vérifie bien : y' - 2y = e^2x

1°) b.

y' - 2y = 0

Tu as vu en cours que cette équation a pour solution : y = k.e^2x, où k est une constante.

euh... non pas encore !
J'en ai absolument besoin pour résoudre cette équation ?? ça ne me dit vraiment rien du tout et je crois bien qu'on le fera dans la semaine qui arrive =/ Je ne peux donc pas poursuivre ?

As-tu vu en cours les équations différentielles du type : y' = ay ?

non... ça ne me dit vraiment rien...

Alors :

y' - 2y = 0

y' = 2y

y'/y = 2

primitives des deux membres :

ln(|y|) = 2x + Constante = 2x + ln(|k|)

exponentielle des deux membres :

|y| = |k|.e^2x

y = k.e^2x

je vais essayer tout ça et voir si on le fait en cours ^^"
merci

Bon dimanche

ça y est on a commencé le cours
alors en fait je ne dois pas faire les questions
1)c-d-e ^^ ça réduit déjà pas mal la suite du cours prochainement ! x)

Bon courage pour la suite

d'accord pour la 1)a
par contre pour la démonstration de y'-2y= 0 je rencontre un petit problème... dois faire :
y'=2y
cette équation st de la forme "y'=ay+b"
y'= a(y+(b/a))
on pose z=y+(b/a) donc z'=y'
z'=az
Seulement ensuite je suis coincée... il me semble que cette démonstration est à utiliser pour la forme littérale et non ici.
Comment dois-je m'y prendre ?
merci d'avance

en fait par rapport à ce que tu as fait dans la 1)b je n'ai pas travaillé avec ln dans mon cours... c'est en fait le premier exercice que l'on fait là dessus ! Pourrais m'apporter plus de précisions s'il te plait
Merci

Utilise ce que tu as vu en cours, tu verras après pour la fonction Ln

alors j'ai fait ça :
y'-2y=0
y'=2y
cette équation est de la forme "y'=ay"
soit v(x)=e^2x
v'(x)=2e^2x
v'(x)=2v

Donc y'-2y=0 a pour solutions S={v : xe^2x}
est-ce juste ?

pour la 2)a- j'ai calculé la limite en + qui me donne +
par contre en - j'ai la forme indéterminée "0*" faire une factorisation forcée ne servirait à rien non ? alors que dois-je employer ?
merci

Tu peux appliquer le théorème du cours directement :

nous savons que y' - 2y = 0 a pour solutions les fonctions du type y = K.e^2x, K constante.

2°) a. En -, la limite de f(x) = (x+1)e^x est la limite de xe^x.

En posant X = -x, ce sera la limite en + de -(Xe^-X)

Et là, tu as une propriété du cours : la limite en + de Xe^-X est 0

d'accord !
merci pour tout ! j'ai pu finir mon exercice !
au revoir et bonne fin de semaine !
encore merci

Bonne soirée

Jai un DM de maths comprenant le même exercice que toi, seulement je dois faire les question c,d et e, et je dois dire qu'en ce moment je peine un peu en maths. Si quelqu'un pourrait m'aider pour ces questions, ce serait gentil. Merci d'avance. Bonne soirée.

Bonjour

1°) a.
Calculons u'(x) - 2u(x) = e^2x + 2xe^2x - 2xe^2x = e^2x
Donc, u vérifie bien (E)

1°) b.
D'après le cours, y' - 2y = 0 donne pour solutions : y = Ke^2x, K constante.

1°) c.
u solution : u' - 2u = e^2x
v solution : v' - 2v = e^2x
Par soustraction : v' - u' - 2v + 2u = 0. Ceci s'écrit aussi :
(v-u)' - 2(v-u) = 0
Ceci montre que v - u est solution de (E₀).

1°) d.
v - u solution de (E₀) donne : v(x) - u(x) = Ke^2x
Donc, v(x) = u(x) + Ke^2x = xe^2x + Ke^2x = (x + K)e^2x
Les solutions de (E) sont : v(x) = (x + K)e^2x, K constante.

1°) e.
La condition initiale v(0) = 1 donne : K = 1. Donc :
f(x) = (x + 1)e^2x

Merci beaucoup !!!