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equations differentielles

Posté par
al68130
19-01-12 à 15:36

Bonjour a tous

J'ai un exercice de maths que je n'arrive pas à résoudre, j'espère que vous pourrez m'apporter un peu d'aide.

On considère l'équation différentielle xy'+y = x définie pour x appartenat à ]0; [.
Quelle est la solution générale de xy'+y = x ?
Déterminer la solution particulière h de l'équation xy'+y = x telle que h(e) = e .




Merci d'avance pour l'aide que vous voudrez bien m'apporter.

Posté par
Glapion Moderateur
re : equations differentielles 19-01-12 à 15:45

Bonjour, ton cours doit te dire de d'abord trouver la solution de l'équation sans second membre xy'+y=0 puis de trouver une solution particulière de l'équation avec second membre et la solution de l'équation sera la somme des deux.

xy'+y=0 est facile à trouver car ça s'écrit y'/y=-1/x et tu n'as plus qu'à intégrer les deux cotés.
Pour la solution particulière, cherche là de la forme kx

Posté par
al68130
re : equations differentielles 19-01-12 à 15:58

pour la solition general j'ai trouvé fg(t)=constante*exp(-t/x)
et pour la solution particuliere j'ai trouvé fp(t)=x
donc f(t)=fg(t)+fp(t)=constante*exp(-t/x)+ x
mais je ne comprend pas pourqoi dans l'enoncé il dise h(e) = e .

Posté par
Glapion Moderateur
re : equations differentielles 19-01-12 à 16:11

non, c'est tout faux. si tu intègre y'/y=-1/x ça donne ln|y|=-ln|x|+C donc y=K/x
la solution particulière ne va pas non plus. xk+kx=x donne k=1/2 donc la solution particulière est y=x/2

La solution générale est donc y=x/2+K/x et si tu cherches celle qui est telle que h(e)=e, remplace et ça va te donner K

Posté par
Glapion Moderateur
re : equations differentielles 19-01-12 à 16:12

on se demande vraiment pourquoi tu viens mettre du t dans tes équations !

Posté par
al68130
re : equations differentielles 19-01-12 à 16:43

j'ai exprimé en fonction de t car ca fait longtemps que je ne suis plus au lycée et dans les etudes que je fais quand on resoud des equa diff (comme en electrocintique on exprime en fonction de t ou d'une autre variable

Posté par
Glapion Moderateur
re : equations differentielles 19-01-12 à 16:45

oui mais si ta fonction était y(t) il n'y aurait pas de x dans l'équation différentielle, tu aurais eu ty'+y = t

Posté par
al68130
re : equations differentielles 19-01-12 à 16:46

merci pour votre aide, maintenant je me souviens comment faire

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : equations differentielles 19-01-12 à 17:15

xy'+y = x

Solution de xy'+y = 0
xy' = -y
y'/y = -1/x
y = k/x
---
Sol particulière de xy'+y = x (par variation de la constante).
y = f/x
y' = (x.f'- f)/x²
xy' + y = (x.f'- f)/x + f/x
xy' + y = f'
A comparer à xy'+y = x ---> f' = x
f = x²/2
Une sol particulière de xy'+y = x est :  y = x²/(2x) = x/2
---
Sol générales de xy'+y = x :
y = x/2 + k/x
---
h(e) = e
e = e/2 + k/e
k = e²/2

--> h(x) = x/2 + e²/(2x)

h(x) = (x² + e²)/(2x)
-----
Sauf distraction.  

Posté par
Glapion Moderateur
re : equations differentielles 19-01-12 à 17:20

Merci J-P, on avait fini il y a déjà une demi heure, mais c'est toujours sympa de te croiser.



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