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equations différentielles

Posté par
emeraude93
27-04-22 à 12:23

Bonjour, j'ai un DM que je n'arrive pas à réaliser.
En voici l'énoncé:

Une étude sur le comportement de bactéries placées dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence a conduit à proposer une loi d'évolution de la forme
N′(t) = 2N(t)−0,004 5[N(t)]²  (1)
où t est le temps exprimé en heures. N(t) représente le nombre d'individus présents dans l'enceinte à l'instant t ; à t = 0 on a N(0) = 1 (en milliers).

1. On pose y(t) =1/N(t) ; montrer que y est solution d'une équation différentielle (E) du type y′ = ay +b.

2. Résoudre (E).

3. En déduire que la solution de (1) est N(t) =1/(0,997 75e−2t +0,00225).

4. Étudier les variations de N.

5. Calculer lim lorsque t tends vers +∞ de N(t) et interpréter ce résultat.

6. Déterminer une primitive de N(t).


Voici les recherches que j'ai réalisées:
1) E=(-2N(t)+0.0045N(t)²)/N(t)²
     E=(-2N(t)+0.0045N(t)/N(t)
     E=-2/N(t)+0.0045
     E=-2(1/N(t))+0.0045
     E=-2y+0.0045 car y=1/N(t)

2)E=-2y+0.0045
    y'=-2y+0.0045
y'+2y=0.0045
donc N(t)=k*e-2t+(0.0045/2)
            N(t)=k*e-2t+0.00225

3)y(t)=1/N(t)
    N(t)=1/y(t)
N(t)=1/(k*e-2t+0.00225)
pour t=0 on a N(0)=1
N(0)=k*e-2t+0.00225
1=k*e0+0.00225
1-0.00225=k
k=0.99775
donc N(t)=1/(0.99775*e-2t+0.00225

Je n'arrive pas à faire la suite, merci d'avance pour votre aide.

Posté par
jean3
re : equations différentielles 27-04-22 à 12:52

si si \; y(t)=\frac{1}{N(t)}

Que vaut y'(t)

Posté par
jean3
re : equations différentielles 27-04-22 à 12:55

Désolé, j'aurais dû commencer par dire bonjour emeraude93

Posté par
jean3
re : equations différentielles 27-04-22 à 13:06

Je n'avais pas tout lu.
Pour les variations de N(t),on est ramené à une étude de fonction

Posté par
jean3
re : equations différentielles 27-04-22 à 13:17

Donc au calcul de la dérivée d'une fonction du type   \frac{1}{u}

Posté par
emeraude93
re : equations différentielles 27-04-22 à 14:03

Merci pour votre aide. J'ai réussi à étudier les variations.
Maintenant je suis bloqué pour calculer la primitive de N(t).
Merci

Posté par
jean3
re : equations différentielles 27-04-22 à 14:35

Pour calculer la primitive multiplier le numérateur et le dénominateur par exp(2t). Vous devez avoir l'expression d'une dérivée connue

Posté par
emeraude93
re : equations différentielles 27-04-22 à 14:37

j'ai obtenu : N(t)= -1/1.9955e-2t ln (0.99775e-2t+0.00225), ça me paraît bien compliqué.
Merci pour votre aide

Posté par
jean3
re : equations différentielles 27-04-22 à 14:40

Un petit point de rédaction.

N'écrivez pas E=-2y+0.0045  mais  E: y'=-2y+0.0045
Je pense que par E vous sous-entendez: expression de l'équation différentielle.

Posté par
jean3
re : equations différentielles 27-04-22 à 14:44

Petite faute de calcul. Au dénominateur exp(-2t) disparait et un exp(2t) apparait. De même au numérateur vous avez exp(2t)

Posté par
emeraude93
re : equations différentielles 27-04-22 à 14:48

la dérivée de 0.0025e2t c'est 2x0.0025e2t?

Posté par
jean3
re : equations différentielles 27-04-22 à 14:58

Oui on au numérateur exp(2t) et au dénominateur
0,000225.exp(2t)+ 0.99775

Donc manipuler la fraction pour avoir
\frac{u'}{u}

Posté par
emeraude93
re : equations différentielles 27-04-22 à 15:00

je trouve comme primitive 1/0.0050 ln(0.99775+0.0025e2t) ??

Posté par
jean3
re : equations différentielles 27-04-22 à 15:18

On doit chercher la primitive de u'/u

j'ai multiplié et divisé par 0.0025 pour faire apparaitre au numérateur la dérivée exacte du dénominateur.

1/0.0025  *(0.0025exp(2t)/(0.99775+0.0025.exp(2t)

Reprenez ce calcul, nous avons une constance de différence

Posté par
emeraude93
re : equations différentielles 27-04-22 à 15:28

pourquoi 0.0025 alors que la dérivée de 0.0025e2t ce doit être 2x0.0025e2t?

Posté par
jean3
re : equations différentielles 27-04-22 à 15:34

En toute rigueur la primitive de \frac{u'}{u}\; est\; \ln \left|u\right|
Mais nous avons ici des expressions positives

Posté par
emeraude93
re : equations différentielles 27-04-22 à 15:48

voilà ce que j'ai fait N(t)=1/0.99775e-2t+0.00225    u=0.997755e-2t+0.00225  d'où u'= -2x099775e-2t=-1.9955e-2t      on a u'/u=-1.99555e-2t/0.99775e-2t+0.00225        ce qui nous fait 1/-1.9955e-2t x -19955e-2t/0.99775e-2t+0.00225  la primitive de n(t) : -1/1.99555e-2t *ln(0.997755e-2t+0.00225)

Posté par
jean3
re : equations différentielles 27-04-22 à 15:53

Vous avez raison j'ai tapé 1/0.0025 au lieu de taper1/2*1/0.0025
En divisant et multipliant la fraction par 0.0025 pour faire apparaitre a+exp(2x) au dénominateur je trouve aussi :

2222.22.ln(exp(2x)+444.44)
Cette expression doit être égale à la votre.

Bravo et bon courage pour la rédaction du devoir

Posté par
emeraude93
re : equations différentielles 27-04-22 à 15:58

Merci pour tout . Bonne journée.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : equations différentielles 25-08-22 à 11:59

Bonjour,
Une petite rectification :

jean3 @ 27-04-2022 à 15:34

En toute rigueur une primitive de \frac{u'}{u}\; est\; \ln \left|u\right|
Mais nous avons ici des expressions positives



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