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equations différentielles
Bonjour, j'ai un DM que je n'arrive pas à réaliser.
En voici l'énoncé:
Une étude sur le comportement de bactéries placées dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence a conduit à proposer une loi d'évolution de la forme
N′(t) = 2N(t)−0,004 5[N(t)]² (1)
où t est le temps exprimé en heures. N(t) représente le nombre d'individus présents dans l'enceinte à l'instant t ; à t = 0 on a N(0) = 1 (en milliers).
1. On pose y(t) =1/N(t) ; montrer que y est solution d'une équation différentielle (E) du type y′ = ay +b.
2. Résoudre (E).
3. En déduire que la solution de (1) est N(t) =1/(0,997 75e−2t +0,00225).
4. Étudier les variations de N.
5. Calculer lim lorsque t tends vers +∞ de N(t) et interpréter ce résultat.
6. Déterminer une primitive de N(t).
Voici les recherches que j'ai réalisées:
1) E=(-2N(t)+0.0045N(t)²)/N(t)²
E=(-2N(t)+0.0045N(t)/N(t)
E=-2/N(t)+0.0045
E=-2(1/N(t))+0.0045
E=-2y+0.0045 car y=1/N(t)
2)E=-2y+0.0045
y'=-2y+0.0045
y'+2y=0.0045
donc N(t)=k*e-2t+(0.0045/2)
N(t)=k*e-2t+0.00225
3)y(t)=1/N(t)
N(t)=1/y(t)
N(t)=1/(k*e-2t+0.00225)
pour t=0 on a N(0)=1
N(0)=k*e-2t+0.00225
1=k*e0+0.00225
1-0.00225=k
k=0.99775
donc N(t)=1/(0.99775*e-2t+0.00225
Je n'arrive pas à faire la suite, merci d'avance pour votre aide.
Merci pour votre aide. J'ai réussi à étudier les variations.
Maintenant je suis bloqué pour calculer la primitive de N(t).
Merci
Pour calculer la primitive multiplier le numérateur et le dénominateur par exp(2t). Vous devez avoir l'expression d'une dérivée connue
j'ai obtenu : N(t)= -1/1.9955e-2t ln (0.99775e-2t+0.00225), ça me paraît bien compliqué.
Merci pour votre aide
Un petit point de rédaction.
N'écrivez pas E=-2y+0.0045 mais E: y'=-2y+0.0045
Je pense que par E vous sous-entendez: expression de l'équation différentielle.
Petite faute de calcul. Au dénominateur exp(-2t) disparait et un exp(2t) apparait. De même au numérateur vous avez exp(2t)
Oui on au numérateur exp(2t) et au dénominateur
0,000225.exp(2t)+ 0.99775
Donc manipuler la fraction pour avoir
On doit chercher la primitive de u'/u
j'ai multiplié et divisé par 0.0025 pour faire apparaitre au numérateur la dérivée exacte du dénominateur.
1/0.0025 *(0.0025exp(2t)/(0.99775+0.0025.exp(2t)
Reprenez ce calcul, nous avons une constance de différence
voilà ce que j'ai fait N(t)=1/0.99775e-2t+0.00225 u=0.997755e-2t+0.00225 d'où u'= -2x099775e-2t=-1.9955e-2t on a u'/u=-1.99555e-2t/0.99775e-2t+0.00225 ce qui nous fait 1/-1.9955e-2t x -19955e-2t/0.99775e-2t+0.00225 la primitive de n(t) : -1/1.99555e-2t *ln(0.997755e-2t+0.00225)
Vous avez raison j'ai tapé 1/0.0025 au lieu de taper1/2*1/0.0025
En divisant et multipliant la fraction par 0.0025 pour faire apparaitre a+exp(2x) au dénominateur je trouve aussi :
2222.22.ln(exp(2x)+444.44)
Cette expression doit être égale à la votre.
Bravo et bon courage pour la rédaction du devoir
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