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equations differentielles
Bonsoir voici un exercice sur les equations differentielles
auquel j'ai répondu a une question
Une personne est placée sous perfusion de pénicilline ,à raison de A
milligrammes de substance par minute.Si Q(t) est la quantité présente
dans le sang à l'instant t ,alors il existe k strictement plus
grand que 0 tel que: Q'(t)=A-kQ(t)
1)Sachant que Q(0)=0 exprimer Q(t) en fonction de k A et t
je trouve Q(t)=A/k *(1-e^(-k)) après factorisation
Calculer limite à +00 de Q(t) je trouve que
ca fait A/k
3)Voici la question à laquelle je n'ai pas répondu
Sachant que la demie vie duproduit est de 3h calculer k ,en déduire
si l'on veut maintenir à long terme 80 mg de pénicilline
dans le sang calculer la valeur du débit A
merci beaucoup
1) OK mais il manque un t dans l'expression de Q(t).
C'est Q(t)= (A/k) *(1-e^(-kt))
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3)
Si on arrête de perfuser , on a A = 0 à partir de ce moment.
On a alors: Q'(t) = -k.Q(t)
Equation qui résolue donne: Q(t) = Qo.e^(-kt)
avec Qo la quantité de pénicilline dans le sang au moment où on stoppe
la perfusion.
On dit que 3 h après, il reste la moitié de Qo dans le sang ->
Q(3) = (1/2)Qo = Qo.e^(-3k) (avec t exprimé en heures)
1/2 = e^(-3k)
ln(1/2) = -3k
3k = ln(2)
k = (1/3).ln(2)
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Si on veut à long terme 80 mg de pénicilline dans le sang (avec évidemment
la perfusion enclenchée), on doit avoir:
A/k = 80
-> A = 80.k
A = 80.(1/3).ln(2)
Avec A en mg/heure
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Sauf distraction. Vérifie. 
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