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Equations différentielles
Salut! j'ai un problème sur un exercice qui m'est extrêmement
difficile (voir impossible) de résoudre car je ne comprends aucunes
questions . Voici l'enoncé de ce dernier :
A/Solutions d'une équation différentielle
(A) y'=-10y+6 où y désigne une fonction de la variable t ,
dérivable sur R .
1) Démonstration de cours . Démontrer l'existence et l'unicité
de la solution f de l'équation différentielle (A) telle f(0)=0
.
2) Vérifier que la solution f de l'équation différentielle (A)
telle f(0)=0 est f : t 
(3/5)(1-e(-10t))
B/Etablissement d'un courant dans la bobine
Aux bornes d'une bobine de résistance R (exprimée en ohms ) et d'inductance
L (exprimée en henrys ) , on branche , à la date t=0 , un générateur
de force électromotrice E (exprimée en volts ) . L'unité de
temps est la seconde .
L'intensité du courant dans le circuit (exprimée en ampères) est une fonction
dérivable du temps , notée i . A la date t=0 l'intensité est
nulle .
Au cours de l'établissement du courant , la fonction i est solution
de l'équation différentielle :
Li'+Ri=E
Valeurs numériques . Dans toute la suite , on prend R=5, L=(1/2), E=3.
1) Déduire des questions précédentes l'expression de i(t) pour
t>0.
2) Déteminer limite de i(t) en + l'infini.
J'espère que tu pourras m'aider au moins pour les questions Aet B(sauf
2)car je n'y comprends rien . MERCI d'avance .
N.B.:IL s'agit de maths et non de physique .
A/
1 et 2) (voir remarque à la fin)
y' + 10y = 6
a)
Solutions de l'équation avec le second membre = 0.
y' + 10y = 0
-> y = A.e^(-10t) avec A une constante.
b)
Recherche d'une solution particulière de l'équation avec second membre.
y = 0,6
c)
Solution générale de l'équation: y' + 10y = 6
y = 0,6 + A.e^(-10t)
d)
Pour avoir f(0) = 0 -> 0 = 0,6 + A.e^0 -> A = -0,6
Et donc finalement:
y = 0,6.(1 - e^(-10t))
y = (3/5).(1 - e^(-10t)) est la seule solution qui convient.
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B/
1)
Li'+Ri=E
(1/2).i' + 5i = 3
i' + 10i = 6
et par la partie 1 de l'exercice ->
i = (3/5).(1 - e^(-10t))
-----
2)
lim(t->oo) i(t) = (3/5).(1 - 0) = 0,6 A
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Remarque, en lisant l'énoncé, je ne suis pas sûr que tu saches résoudre
une équation différentielle comme je l'ai fait dans la partie
A.
si le A 1 est une recopie de la théorie du cours, fais-le.
Il faut alors, pour le A 2, seulement vérifier que y = (3/5)(1-e(-10t))
est la solution (au lieu de le démontrer comme je l'ai fait).
Dans ce cas, on fait:
y = (3/5)(1-e^(-10t))
y' = (30/5).e^(-10t)
y' = 6.e^(-10t)
y'+ 10y = 6.e^(-10t) + 10. (3/5)(1-e^(-10t))
y'+ 10y = 6.e^(-10t) + 6 - 6.e^(-10t)
y'+ 10y = 6
Et donc y = (3/5)(1-e^(-10t)) est bien la solution de y'+ 10y =
6 si y(0) = 0.
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Sauf distraction. 
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