Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Equations differentielles: consignes obscures
Bonjour à tous.
J'ai donc un DM à faire, mais le problème est que j'ai beaucoup de mal, même en relisant mes cours, à comprendre ce qu'on me demande de trouver. Si vous pouviez m'éclairer, ca m'aiderait!
Attention, en aucun cas je demande à ce qu'on me fasse ces exercices! Ca n'est pas le but de ce message!
Voici donc l'énoncé de l'exercice en question:
n est un entier naturel strictement positif.
On considère l'équation différentielle:
(En) y' + y = xn . e-x
1) Soient g et h deux fonctions dérivables sur 
telles que pour tout x de , g(x) = h(x) . e-x
a) Montrer que g est une solution de (En) si et seulement si, pour tout réel x, h'(x) = xn
b) Sachant que h(0) = 0, déterminer la fonction h associée à une solution de g de (En). Quelle est alors la fonction g?
2) Soit 
une fonction dérivable sur .
a) Montrer que est solution de (En) si et seulement si - g est solution de l'équation: (F) y' + y = 0
b) Résoudre l'équation (F).
c) Déterminer les solutions de l'équation (En).
d) Déterminer la solution f de l'équation (En) vérifiant f(0) = 1
Voila, même si quelques énoncés sont simples et compris, j'ai préféré les mettre pour éviter tout problème.
Merci d'avance!
Le but de ce problème :
Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle En. Pour cela on procède en deux étapes :
1° étape: recherche de solutions particulière sous la forme h(x)exp(-x) [c'est ce qu'on appelle la méthode de la variation de la constante, ce sera vu l'an prochain ! mais ici, tu as tout pour pouvoir résoudre cet exo]
2° étape: déduction de toutes les solutions
Pistes pour la résolution :
1) Ecris g(x) = h(x)exp(-x). Ecris ton équation différentielle pour y = g(x). Si tout va bien, normalement des termes se simplifient et tu peux diviser chaque membre par exp(-x) (non nul !) et t'obtiens bien l'quivalence souhaitée.
b) Il s'agit en fait de trouver la primitive de x^n qui s'annule en 0 ! c'est donc ... x^(n+1)/(n+1). En déduire la fonction g correspondante. On a alors trouvé une solution g de En qui s'écrit d'une manière particulière et qui s'annule en 0
2) a) Question type dans les exos sur les éq diff (typique au Bac). Ecris l'équation diff vérifiée par Phi et par g (jte rappelle que g est solution de En) donc retranche membre à membre et tu verras que phi - g vérifie (F). D'où l'équvalence souhaitée.
b) pas de pb avec le cours
c) soit phi une solution de En alors phi - g est solution de (F). donc phi = g + sol° de F. Tu obtiens ainsi ttes les solutions de En (on ajoute g à tte les solutions de (F)
d) facile, il faut déterminer la constante qui découle de la r"ésolution de (F). Simple résolution d'équation.
Pour tt pb, tu peux me contacter. Bon courage !
Annuler
connectez vous