Bonjour tout le monde.
J'ai un DM à faire pour les vacances sur les fonctions exponentielles. Le problème comme vous devez vous en douter, c'est que je n'y comprend pas grand chose ... ^^"
Pourriez vous m'aider s'il vous plais. Ou du moins m'aiguiller ou me donner des conseils pour commencer l'exercice.
Merci
1°)Dans cette question, on demande au candidat d'exposer des connaissances.
On suppose connu le résultat suivant:
La fonction X ---> ex est l'unique fonction '=
et
(0) = 1.
Soit a un nombre réel donné.
a°] Montrer que la fonction F définie sur par f(x) = eax est solution de l'équation Y'= ay
B°] Soit g une solution de l'équation Y' = ay. Soit h la fonction définie sur par h(x) = g(x)e-ax. Montrer que h est une fonction constante.
c°] En déduire l'ensemble des solutions de l'équation y' = ay
2°) On considère l'équation différentielle (E) y' = 2y + cos(x)
A°] Déterminer deux nombre a et b tels que la fonction f0 définie sur par f0 (x) = a cos X + b sin X soit une solution f0 de (E)
B°] Résoudre l'équation différentielle (E0) y'= 2y
C°] Démontrer qye f est solution de (E) si et seulement si f-f0 est solution de (E0).
D°] En déduire les solutions de (E)
E°] Déterminer la solution k de (E) vérifiant K(\frac{}{2}) = 0
Merci d'avance à ceux qui voudrons bien m'aider un peu
Bonjour
Donc si je dérive, ça donne (eax)' = aex
Et si je replace la fonction exponentielle la fonction par y ça me donne Y'= ay.
C'est bien, ca ?
Pour la 2eme question, je pensais la résoudre en faisant un composée de fonction. Mais comment savoir ce que vaut g(x) ?
(Merci d'avoir répondu si vite)
Pour la question n°2 :
Si je fait :
h(0) = g(O)e-aO
h(0) = g(0) x 1 <=== J'ai remplacé eO par 1. Il me semble que l'on peux, non ?)
Or g : y'= ya (si j'ai bien compris l'énoncé ^^)
donc g(0) = a
h(0) = a x 1
h(x)= a et est donc constante
C'est bien cela ?
Soit g une solution de l'équation y' = ay. Soit h la fonction définie sur par h(x) = g(x)e-ax. Montrer que h est une fonction constante.
h'(x) = g'(x)*e-ax -a*g(x)*e-ax
h'(x) = (g'(x) - ag(x))e-ax
or g(x) solution de l'eq diff y'=ay ou y' - ay = 0 soit g' - ag = 0
donc h'(x) = 0 ----> h(x) = constante
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