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Niveau terminale
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Equations différentielles/Fonctions trigonometriques

Posté par
Environnement
28-10-08 à 11:53

Bonjour tout le monde.

J'ai un DM à faire pour les vacances sur les fonctions exponentielles. Le problème comme vous devez vous en douter, c'est que je n'y comprend pas grand chose ... ^^"

Pourriez vous m'aider s'il vous plais. Ou du moins m'aiguiller ou me donner des conseils pour commencer l'exercice.

Merci


1°)Dans cette question, on demande au candidat d'exposer des connaissances.
On suppose connu le résultat suivant:
La fonction X ---> ex est l'unique fonction '= et (0) = 1.
Soit a un nombre réel donné.

a°] Montrer que la fonction F définie sur \mathbb{R} par f(x) = eax est solution de l'équation Y'= ay

B°] Soit g une solution de l'équation Y' = ay. Soit h la fonction définie sur \mathbb{R}  par h(x) = g(x)e-ax. Montrer que h est une fonction constante.

c°] En déduire l'ensemble des solutions de l'équation y' = ay

2°) On considère l'équation différentielle (E) y' = 2y + cos(x)

A°] Déterminer deux nombre a et b tels que la fonction f0 définie sur \mathbb{R} par f0 (x) = a cos X + b sin X soit une solution f0 de (E)

B°] Résoudre l'équation différentielle (E0) y'= 2y

C°] Démontrer qye f est solution de (E) si et seulement si f-f0 est solution de (E0).

D°] En déduire les solutions de (E)

E°] Déterminer la solution k de (E) vérifiant K(\frac{}{2}) = 0


Merci d'avance à ceux qui voudrons bien m'aider un peu

Posté par
juju007
re : Equations différentielles/Fonctions trigonometriques 28-10-08 à 11:59

Salut! Première question ultra facile il suffit de savoir dérivere^{ax}

Posté par
Environnement
re : Equations différentielles/Fonctions trigonometriques 28-10-08 à 12:12

Bonjour

Donc si je dérive, ça donne (eax)' = aex

Et si je replace la fonction exponentielle la fonction par y ça me donne Y'= ay.

C'est bien, ca ?


Pour la 2eme question, je pensais la résoudre en faisant un composée de fonction. Mais comment savoir ce que vaut g(x) ?


(Merci d'avoir répondu si vite)

Posté par
Environnement
re : Equations différentielles/Fonctions trigonometriques 28-10-08 à 14:47

Pour la question n°2 :

Si je fait :

h(0) = g(O)e-aO

h(0) = g(0) x 1      <=== J'ai remplacé eO par 1. Il me semble que l'on peux, non ?)

Or g : y'= ya (si j'ai bien compris l'énoncé ^^)
donc g(0) = a

h(0) = a x 1

h(x)= a et est donc constante

C'est bien cela ?

Posté par
Environnement
re : Equations différentielles/Fonctions trigonometriques 28-10-08 à 18:44

Peut on m'aider s'il vous plais ? Ou du moins me dire si ce que j'ai fait est correct

Merci

Posté par
abdel01
re : Equations différentielles/Fonctions trigonometriques 28-10-08 à 19:01

Soit g une solution de l'équation y' = ay. Soit h la fonction définie sur \mathbb{R}  par h(x) = g(x)e-ax. Montrer que h est une fonction constante.
h'(x) = g'(x)*e-ax -a*g(x)*e-ax
h'(x) = (g'(x) - ag(x))e-ax

or g(x) solution de l'eq diff y'=ay  ou  y' - ay = 0  soit g' - ag = 0

donc h'(x) = 0 ---->  h(x) = constante



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