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[Equations différentielles] le taux d'alcoolémie
Bien le bonjour ^^ je bute sur une question où je n'arrête pas de retomber sur mes pattes.
Voici l'énoncé :
Le taux d'alcoolémie f(t) d'une personne ayant absorbé, à jeun, une certaine quantité d'alcool vérifie, sur R+ l'équation différentielle (E) : y' + y = a * e-t où t est le temps écoulé après l'ingestion (en heures) et a une constante sui dépend des conditions expérimentales.
1) Montrer que la fonction g définie sur R+ par g(t) = a * t * e-t est une solution de (E)
2) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si (f-g) est solution de l'équation différentielle y' + y = 0
3) Exprimer f(t) en fonction de t et de a.
Voici mes réponses pour l'instant :
1) Soit g'(t) = a * (1-t) * e-t
J'ai donc g(t) + g'(t) = (a * t * e-t) + (a * (1-t) * e-t) = (1-t+t) * a * e-t = a * e-t
Donc g est bien solution de (E)
2) Soit (f-g) solution de y' + y = 0
(f-g)(t)' + (f-g)(t) = 0
f'(t) - g'(t) + f(t) - g(t) = 0
f'(t) + f(t) = g'(t) + g(t)
f'(t) + f(t) = a * e-t
Donc f est solution de (E)
3) C'est là que je bloque ^^
J'ai essayé pas mal de transformations, mais à chaque fois je retournais à mon point de départ.
Une aide ou des pistes sont les bienvenues =)
Merci d'avance,
swannazerty
J'ai un deuxième problème ^^
Question 4 : On suppose dans cette question que a = 5
a) Etudier les variations de f(t) et tracer sa courbe.
Déterminer le taux d'alcoolémie maximal et le temps au bout duquel il est atteint.
b) Donner une valeur du délai T (à l'heure près par excès) au bout duquel le taux d'alcoolémie de cette personne est inférieur à 0,5 g/l
Pour la a) on a aucune indication concernant C, je me vois mal tracer toutes les courbes possibles ^^
Une bonne année à tous =)
Je ne suis pas sûr d'avoir été assez clair quant à ce que je cherche, d'où mon double post ^^
Dans la question 3, je dois exprimer f(t) en fonction de t et de a, sachant que y' = -y + (a * e-t) et que f(0) = 0.
Cette équation étant de la forme y' = ay + b avec a = -1 mais avec b = a * e-t, donc variable.
Je n'ai jamais vu cette forme d'équation auparavant, et je ne sais pas comment la rendre résolvable.
En vous remerciant de l'aide apporté,
swannazerty
J'ai déjà donné l'énoncé complet, le revoici avec l'ensemble des questions :
Le taux d'alcoolémie f(t) (en g/L) d'une personne ayant absorbé, à jeun, une certaine quantité d'alcool vérifie, sur R+ l'équation différentielle (E) : y' + y = a * e-t où t est le temps écoulé après l'ingestion (en heures) et a une constante qui dépend des conditions expérimentales.
1) Montrer que la fonction g définie sur R+ par g(t) = a * t * e-t est une solution de (E)
2) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si (f-g) est solution de l'équation différentielle y' + y = 0
3) Exprimer f(t) en fonction de t et de a.
4) On suppose dans cette question que a = 5
a) Etudier les variations de f(t) et tracer sa courbe.
Déterminer le taux d'alcoolémie maximal et le temps au bout duquel il est atteint.
b) Donner une valeur du délai T (à l'heure près par excès) au bout duquel le taux d'alcoolémie de cette personne est inférieur à 0,5 g/l
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