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equations differentielles, trouver f
Bonjour a tous!
Je suis bloqué au tout debut de cet exercice car je ne vois absolument pas quoi faire, pouvez-vous m'aider ?
merci !
On se propose de demontrer qu'il existe une seule fonction f derivable sur R verifiant la condition :
(C) | f(-x)f'(x)=1 pour tout x
| f(0)=-4
et de trouver cette fonction.
On suppose qu'il existe une fonction f verifiant la condition (C) et on considere alors la fonction g definie sur R par g(x)=f(-x)f(x).
*a) demontrer que la fonction f ne s'annule pas sur R.
*b) calculer la fonction derivee de la fonction g.
*c) en deduire que la fonction g est constante et determiner sa valeur.
*d) on considere l'equation differentielle (E) :
montrer que la fonction f est solution de cette equation et qu'elle verifie f(0)=-4
*e) en deduire la fonction f unique fonction derivable sur R verifiant la condition (C).
donc voila je bloques dès la premiere question !
Seb 
Bonjour,
un petit indice pour la première question.
suppose qu'il existe un x0 tel que f(x0)=0. D'après la condition C,
on a f(x0)f'(-x0)=1, ce qui est contradictoire. Donc il n'existe pas de réel x tel que f(x)=0. Conclusion : f ne s'annule pas sur R
bonjour
g(x)=f(-x)f(x)
comme f est derivable g aussi donc g' existe
g'(x)=-f'(-x)f(x)+f(-x)f'(x)=-f'(-x)f(x)+1
=-f'(-x)f(-(-x))+1
=-1+1=0
donc g est constante et g(0)=f(0)²=16 f(-x)f(x)=16 et donc f ne s'annule pas
pour le b), c'est la dérivée d'un produit que tu dois savoir faire.
Fais attention à la dérivée de f(-x) car c'est la dérivée de la composée de deux fonctions : la fonction f(x) et la fonction -x ....
c) normalement, tu devrais trouver que g'(x)=0 donc g est constante. Pour calculer cette constante, tu peux prendre une valeur particulière de x, par exemple x=0 ...
Voilà, j'ai fait une mauvaise manip et j'ai posté avant d'avoir fini.
sauf erreur,
bon courage,
ManueReva
merci beaucoup a vous ManueReva et cqfd67.
Je pense que dans l'esprit de l'exercice il faut que je fasse ce que me propose ManueReva mais j'ai aussi compri le reaisonnement de cqfd67 bien que tout aussi interessant il repond aux 3 questions d'un seul coup 
je vais essayer de faire lasuite tout seul ^^
Seb
posté par : ManueReva
Bonjour,
un petit indice pour la première question.
suppose qu'il existe un x0 tel que f(x0)=0. D'après la condition C,
on a f(x0)f'(-x0)=1, ce qui est contradictoire. Donc il n'existe pas de réel x tel que f(x)=0. Conclusion : f ne s'annule pas sur R
c'est en fait cela change-t-il quelque chose ?
et si j'ecris pour la question a) :
Supposons qu'il existe -x0 tel que f(-x0)=0.
D'après la condition (C), on a f(-x0)f'(x0)=1
Or il y a une contradiction donc la fonction f ne s'annule pas sur R.
donc voila, les questions a.b.c sont faites!
pour la d), j'ai montré que f est solution de l'equation differentielle, pas de difficulté particuliere, mais qu'entend-t-on par "montrer qu'elle verifie f(0)=-4" ?
ne serait-ce pas ceci que l'on attend :
g(0)=f(-0)f(0)=f(0)²=16
donc f(0)=-4 ou f(0)=4
mais ensuite ?
c'est plutot :
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