Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau terminale
Partager :

Equations et divisibilité dans N

Posté par
natsume
15-09-15 à 23:34

Bonsoir à tous,
J'ai un dm a rendre pour là semaine prochaine mais je rencontre quelques problèmes.
Voici l'énoncé du premier exercice :

1) Déterminer les diviseurs de 21 dans N.
Ma reponse: ils sont
S={1,3,7,21}
Faut-il que j'explique d'avantage?

2) Montrer, sans résoudre, que l'équation n(n+2)=21 n'à pas de solution dans N.
Ma réponse:  
n(n+2)=21 est de la forme ac=b où a=n et donc n|21.
Or quelque soit le diviseur de 21 choisi (cf. Question 1), on remarque que l'égalité n'est jamais respectée. Donc n(n+2)=21 n'à pas de solution dans N.
Est-ce correct?

3) Résoudre dans N l'équation: (n^2-1)(n^3-1)=21
Mà réponse :
J'ai deux pistes mais pour l'instant je n'arrive pas au bout de celles-ci :
Soit : tout développer mais j'obtiens ce résultat :
n^5-n^2-n^3-20=0. En factorisant par n2 ou n je ne  trouve pas non plus.
Ou: je dis que cette équation est de la forme ac=b avec a=n^2-1 et c=n^3-1 (b=21 donc) ainsi par définition
(n^2-1)|21 , mais pareil je ne vois pas trop comment résoudre  (donc trouver les valeurs de n ..?)

Pouvez-vous m'éclairer sur la méthode à utiliser ou la manière de procéder s'il vous plaît? Et me dire si ce que j'ai jusqu'à présent est juste ☺ ?
Merci d'avance et bonne soirée,
Natsume

Posté par
Wataru
re : Equations et divisibilité dans N 15-09-15 à 23:56

Salut,

1. Non, ça suffit largement.
2. Yep, c'est correct. Explique peut être un poil plus mais t'as l'idée.
3. L'idée est bien de regarder par rapport aux diviseurs.
En fait c'est exactement la même idée que pour la 2. sauf que cette fois ci faut actuellement trouver des diviseurs qui marchent.

Faut que tu trouves un ou des n tels que n²-1 soit diviseur de 21 (facile t'as la liste dans la première question) et que (n²-1)(n^3-1) donne bien 21.

Posté par
natsume
re : Equations et divisibilité dans N 17-09-15 à 20:05

Bonjour
Merci Wataru pour votre réponse!

Alors pour la  question 2, cette précision suffit-elle?
Je reprends ce que j'ai dit dans le précédent message :
n(n+2)=21 est de la forme ac=b où a=n et donc n|21.
Or quelque soit le diviseur de 21 choisi (cf. Question 1), on remarque que l'égalité n'est jamais respectée
: pour n=1, 1(1+2) 21, pour n=3, 3(3+2) 21, pour n=7, 7(7+2) 21 et pour n=21, 21(21+2) 21. Donc n(n+2)=21 n'à pas de solution dans N.

Qu'en pensez vous?

Ensuite pour la question 3: (n^2-1)(n^3-1)=21
cette équation est de la forme ac=b avec a=n^2-1 et c=n^3-1 (b=21 donc) ainsi par définition (n^2-1)|21
Ainsi, soit n^2-1 = 1 ou = 3 ou =7 ou =21
En testant avec les quatre possibilités pour n diviseur de 21, nous trouvons :
n^2-1 = 1 n=2 ou n=-2
n^2-1 = 3 n=2 ou n=-2
n^2-1 = 7 n=22 ou n=-22
n^2-1 = 21 n=22 ou n=-22

Dès lors, en remplaçant par les différentes valeurs de n de n^2-1, nous remarquons que seul n=2 permet de respecter l'égalité ci-dessus.
En effet, (2^2-1)(2^3-1)= 3*7 = 21

Donc pour (n^2-1)(n^3-1)=21 , n=2

Est-ce correct? Car j'ai l'impression que je procède par "tatonnement" et je ne suis pas sûre que ce soit la bonne méthode à adopter.

Merci d'avance et bonne soirée,
Natsume!

Posté par
carpediem
re : Equations et divisibilité dans N 17-09-15 à 20:34

salut

1/ oui ....

2/ bof ... très bof ....

si n(n + 2) = 21 alors n et n + 2 sont deux diviseurs consécutifs de même parité de 21

le seul couple de diviseurs de 21 qui respecte cela est (1, 3)  :: 3 = 1 + 2 or 1 * 3 = 3

3/ il est trivial (quand on fait du calcul mental) que n = 2 convient ....

....

Posté par
flight
re : Equations et divisibilité dans N 17-09-15 à 20:48

salut

2) Montrer, sans résoudre, que l'équation n(n+2)=21 n'à pas de solution dans N.

il suffit de donner à n les valeurs se trouvant dans S={1,3,7,21}

si n =1 alors n+2 = 3 et 1*3 ne fait pas 21
si n =2 alors n+2 = 4 et 2*4 ne fait pas 21
si n =3 alors n+2 = 5 et 3*5 ne fait pas 21
si n =7 alors n+2 = 9 et 7*9 ne fait pas 21
si n =21 alors n+2 = 23 et 21*23 ne fait pas 21

egalement dans l'autre sens

Posté par
carpediem
re : Equations et divisibilité dans N 17-09-15 à 21:02

ouais .... très bof .... vu mon post qui précède ton post ...


allez cadeau .... pour le fun ....

n(n + 2) = 21  <=>  n^2 + 2n + 1 = 21 + 1  <=>  (n + 1)^2 = 22

MDR

Posté par
natsume
re : Equations et divisibilité dans N 19-09-15 à 19:37

Bonsoir à tous,
tout d'abord merci pour vos réponses

Flight, j'ai utiliser le même raisonnement du coup pour la question 2 Carpediem, je comprends votre résultat (n+1)^2 = 22, par contre comment faites-vous pour justifier qu'il n'y a pas de possibilité dans N? Vous remplacez n par les différents diviseurs de 21 ?
Et aussi, pourquoi est-ce "bof" ? La méthode que j'ai utilisé est-elle (trop) maladroite ?

D'autre part, pourquoi n=2 ne convient pas?

(n^2-1)(n^3-1) si n=2 alors (2^2-1)(2^3-1) = (4-1)(8-1) = 3*7 = 21 non?

Merci d'avance
Natsume

Posté par
carpediem
re : Equations et divisibilité dans N 19-09-15 à 20:53

22 est-il un carré dans N ?


et relis mon post précédent ...

Posté par
natsume
re : Equations et divisibilité dans N 19-09-15 à 21:32

Oh oui bien sûr! Il n'y a pas de valeur dans N qui mis au carré donne 22

2°) Donc n=2  est bon C'est en fait le mot "trivial" que je ne comprenais pas
Merci beaucoup en tout cas

Posté par
carpediem
re : Equations et divisibilité dans N 20-09-15 à 13:54

de rien

je t'ai donne une solution ... évidente ....

il faut bien sur vérifier que c'est la seule ...



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !