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Niveau première
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Équations trigonométriques

Posté par
Samsco 08-03-20 à 15:15

Bonsoir ,j'ai besoin d'aide pour ces équations svp

Exercice :
Résoudre dans R les équations suivantes:

1)Cos(2x)=Sin(3x)

2)CosxSinx=\dfrac{1}{4}

3)Cos(3x)=Sin(2x)

4)Cos(2x)+Cosx=0

5)2Cos²+Cosx-1=0

6)2Sin²x-3Sinx-2=0

Posté par
kenavo27re : Équations trigonométriques 08-03-20 à 15:23

Bonjour
Fais des propositions

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 15:29

4)Cos(2x)+Cosx=0<=>Cos(2x)=-Cosx<=> \\ <=> Cos(2x)=Cos(\pi+x) ou Cos(2x)=Cos(\pi-x) \\ <=>2x=\pi+x+k2\pi ou 2x=-\pi-x+k2\pi ou 2x=\pi-x+k2\pi ou 2x=-\pi+x+k2\pi \\ <=> x=\pi+k2\pi ou x=\frac{-\pi}{3}+k2\pi ou x=\frac{\pi}{3}+k2\pi ou x=-\pi +k2\pi

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 15:30

Bonjour

Utilisez les angles associés  pour se ramenés à \cos=\cos ou \sin=\sin

pour certaines un changement  de variables

   pour cos et sin  n'oubliez pas l'antislash \

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 15:31

Comment on fait pour mettre des espaces entre les mots en présence des basiles et .Et aussi comment faire des accolades?

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 15:31

Entre les basiles[/tex] et [tex]

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 15:43

Samsco @ 08-03-2020 à 15:29

4)Cos(2x)+Cosx=0<=>Cos(2x)=-Cosx<=> \\ <=> Cos(2x)=Cos(\pi+x) ou Cos(2x)=Cos(\pi-x) \\ <=>2x=\pi+x+k2\pi ou 2x=-\pi-x+k2\pi ou 2x=\pi-x+k2\pi ou 2x=-\pi+x+k2\pi \\ <=> x=\pi+k2\pi ou x=\frac{-\pi}{3}+k2\pi ou x=\frac{\pi}{3}+k2\pi ou x=-\pi +k2\pi

Alors ,est ce que c'est correct ?

Posté par
kenavo27re : Équations trigonométriques 08-03-20 à 15:46

Pour moi, c'est du "chinois"

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 15:48

Samsco @ 08-03-2020 à 15:31

Comment on fait pour mettre des espaces entre les mots en présence des basiles et .Et aussi comment faire des accolades?

Si vous pouvez répondre à ça ,je pourrais rendre ça plus clair

Posté par
kenavo27re : Équations trigonométriques 08-03-20 à 15:54



cos(2x)=sin(3x)

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 15:58

4)Cos(2x)+Cosx=0<=>Cos(2x)=-Cosx<=> \\ <=> Cos(2x)=Cos(\pi+x) ou Cos(2x)=Cos(\pi-x) \\ <=>2x=\pi+x+k2\pi ou 2x=-\pi-x+k2\pi ou 2x=\pi-x+k2\pi ou 2x=-\pi+x+k2\pi \\ <=> x=\pi+k2\pi ou x=\frac{-\pi}{3}+k2\pi ou x=\frac{\pi}{3}+k2\pi ou x=-\pi +k2\pi

devient
4)\cos (2x)+\cos x=0 \iff \cos(2x)=-\cos x\iff \\ \cos (2x)=\cos (\pi+x) \ \text{ou }\cos (2x)=\cos (\pi-x) \\ \iff  2x=\pi+x+k\,2\pi\ \text{ou } 2x=-\pi-x+k\,2\pi \ \text{ou  } 2x=\pi-x+k\,2\pi \ \text{ou } 2x=-\pi+x+k\,2\pi \\ \iff  x=\pi+k\,2\pi \ \text{ ou } x=\dfrac{-\pi}{3}+k\,2\pi \ \text{ou } x=\dfrac{\pi}{3}+k\ 2\pi \ \text{ ou } x=-\pi +k\,2\pi


Il serait bien de mettre des parenthèses entre les propositions

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 16:01

D'accord sinon ,c'est correct?

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 16:08

1)\cos(2x)=\sin(3x) \iff 1-\sin²x= 3\sin(x)-4\sin³x \iff \sin²x=1-\sinx(3-4\sin²x)

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 16:09

1)\cos(2x)=\sin(3x) \iff 1-\sin²x= 3\sin(x)-4\sin³x \iff \sin²x=1-\sin(x) (3-4\sin²x)

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 16:14

Pour les accolades
dans quel sens  ?

Au-dessus  \overbrace{le texte }^{quoi} donne  \overbrace{le texte }^{quoi}

En dessous  \underbrace{le texte }_{quoi}donne \underbrace{le texte }_{quoi}

À gauche  

\begin{cases}   \text{la première ligne }\\ \text{la seconde}\end{cases}  donne \begin{cases}\text{la première ligne }\\ \text{la seconde}\end{cases}

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 16:16

C'est pour écrire les solutions de l'équation

Posté par
kenavo27re : Équations trigonométriques 08-03-20 à 16:27

hekla
Je te laisse poursuivre si disponible.
Merci
Je suis ailleurs.

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 16:29

\cos (2x)=1-2\sin^2 (x)

1-2\sin^2x=3\sin x-4\sin^3 x

4X^3-2X^2-3X+1=0  avec X=\sin x

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 16:36

Bonjour kenavo27

Je vais essayer de suivre.  Passez de temps en temps.

Pour l'ensemble des solutions \left \{ x_1,\ x_2\ x_3\right\} donne \left \{ x_1,\ x_2,\ x_3\right\}

Posté par
kenavo27re : Équations trigonométriques 08-03-20 à 16:38

Merci

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 16:49

Je trouve

X=0 \ \text{ou}   X=\dfrac{1+\sqrt{13}}{4}  \ \text{ou}.  X=\dfrac{1-\sqrt{13}}{4} \iff \sin(x)=0  \ \text{ou}  \sin(x)=\dfrac{1+\sqrt{13}}{4}  \ \text{ou}  \sin(x)=\dfrac{1-\sqrt{13}}{4}

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 16:51

Il y a un terme constant donc 0 ne peut être solution

en revanche 1 l'est car 4-2-3+1=0

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 16:52

J'ai pas compris

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 16:56

Si 0 est solution alors en remplaçant X par  l'égalité doit être vraie

  4\times 0-2\times 0-3\times 0+1=1\not=0

en revanche 4\times 1^3-2\times 1^2-3\times 1+1=4-2-3+1=5-5=0

donc 1 est bien solution

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 17:20

D'accord
Je trouve maintenant

X=1 \ \text{ou}   X=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}  \ \text{ou}  X=\dfrac{-1-\sqrt{13}}{4} \iff \sin(x)=1  \ \text{ou}  \sin(x)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}  \ \text{ou}  \sin(x)=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 17:27



X=1 \ \text{ou}   X=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}  \ \text{ou}  X=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4} \iff \sin(x)=1  \ \text{ou}  \sin(x)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}  \ \text{ou}  \sin(x)=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 17:33

Oui à part un copier-coller non corrigé 13 au lieu de 5

maintenant retour en x

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 17:39

\sin x=1 \iff \sin x=\sin(\frac{\pi}{2})\iff x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \ \text{ou}  x=\pi-\frac{\pi}{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \ \text{ou}  x=\frac{\pi}{2}+k2\pi

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 17:52

Vous avez mis deux fois la même valeur

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 17:55

Pour Sin x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}  \ \text{et}  \sin x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{4}
Je ne sais pas comment faire

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 17:57

hekla @ 08-03-2020 à 17:52

Vous avez mis deux fois la même valeur

Ça donne x=π/2 +k2π

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 18:10

On ne peut qu'avoir des valeurs approchées

0\leqslant \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}\leqslant 1  il existe \theta \in [0~;~\frac{\pi}{2}] tel que  \sin \theta=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}

d'où x=\dots ou x= \dots

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 18:15

Je ne vois pas quelle valeur peut prendre x

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 18:25

Tout simplement \theta ou \pi-\theta à 2\pi près


puis à l'aide de la calculatrice une valeur approchée de \theta

\sin^{-1}\left (\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\right)\approx

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 18:33

x=π/10+k2π

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 18:50


Comment trouvez-vous  \dfrac{\pi}{10} ?  oui  manque l'autre série de solutions

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 18:54

hekla @ 08-03-2020 à 18:50


Comment trouvez-vous  \dfrac{\pi}{10} ?  oui  manque l'autre série de solutions

À la calculatrice
x=π/10 +k2π ou x=-3π/10 +k2π

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 19:21

Comment trouvez-vous l'autre valeur

\pi-\dfrac{\pi}{10}=\dfrac{9\pi}{10}

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 19:31

Pour \dfrac{\sqrt{5}-1}{4} \ :\ \dfrac{\pi}{10}+2k\pi manque une série

Pour \dfrac{-(\sqrt{5}+1)}{4} \ :\ \dfrac{-3\pi}{10}+2k\pi  et une autre série

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 08-03-20 à 20:05

S_R=\left \{\dfrac{-3\pi}{10}+k2\pi,\ \dfrac{9\pi}{10}+k2\pi,\ \dfrac{\pi}{10}+k2\pi ;k\in Z \right \}

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 08-03-20 à 20:31

Vous en avez oublié

S_R=\left \{\underbrace { \dfrac{-3\pi}{10}+k2\pi,\ \dfrac{13\pi}{10}+2k\pi}_{\text{pour }X= \frac{-(\sqrt{5}+1)}{4}},\ \underbrace{ \dfrac{9\pi}{10}+k2\pi,\ \dfrac{\pi}{10}+k2\pi}_{\text{pour }X= \frac{\sqrt{5}-1}{4}},\ \underbrace{\dfrac{\pi}{2}+2k\pi }_{\text{pour }X=1)};k\in Z \right \}

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 09-03-20 à 08:02

D'accord pour la 2)

\cos x\sin x=\dfrac{1}{4}\iff4\sin x\cos x=1\iff (4\cos x\sin x)²=1\iff16\cos² x(1-cos² x)=1\iff-16\cos^4 x+16\cos² x-1=0

Posté par
Pirhore : Équations trigonométriques 09-03-20 à 08:05

Bonjour,

2) ou plus simple, me semble-t-il   \dfrac{1}{2}sin(2x)=\dfrac{1}{4}

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 09-03-20 à 08:14

Oui je vois ,je revienais terminer plus tard ,je vais a l'ecole

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 09-03-20 à 19:51

\sin(2x)=\dfrac{1}{2}\iff \sin(2x)=\sin(\frac{\pi}{6})\iff 2x=\frac{\pi}{6}+k2\pi \ \text{ou}  2x=\pi-\frac{\pi}{6}\iff x=\dfrac{\pi}{12}+k2\pi \ \text{ou}  x=\dfrac{5\pi}{12}+k2\pi

S_R=\left \{\dfrac{\pi}{12}+k2\pi,\dfrac{5\pi}{12}+k2\pi ,k\in Z \right \}

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 09-03-20 à 20:39

Oui

Posté par
Pirhore : Équations trigonométriques 09-03-20 à 23:31

3) autre piste

cos(3x)=cos(\dfrac{\pi}{2}-2x)

Posté par
Samscore : Équations trigonométriques 09-03-20 à 23:43

On a

3x=\dfrac{\pi}{2}-2x+k2\pi \ \text{ou}  3x=-\dfrac{\pi}{2}+2x+k2\pi\iff 5x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \ \text{ou}  x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\iff x=\dfrac{\pi}{10}+k2\pi \ \text{ou}  x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi

S_R=\left \{\dfrac{\pi}{10}+k2\pi,-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in Z \right \}

Posté par
heklare : Équations trigonométriques 10-03-20 à 00:30

De même que pour le précédent il faut aussi diviser   les 2k\pi

x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2k\pi}{5} ou etc

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Équations trigonométriques 10-03-20 à 07:55

Bonjour,
Pour 1), je conseille la même méthode que pour 3).

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