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Equivalence

Posté par
Nijiro 19-10-19 à 14:22

Bonjour,
1/ montrer que: (a0)(b0): (a+b=0a=0 et b=0)
2/ montrer que:
(x): (cos3x +sin3x =1)[(sinx=1 et cosx=0 ou sinx=0 et cosx=1)]
je les ai démontrés tous les deux par équivalence directe, mais faut-il  démontrer par double implication?
Merci.

Posté par
Kernelpanicre : Equivalence 19-10-19 à 14:26

Bonjour Nijiro, peux-tu nous détailler ta solution s'il te plaît ?

Posté par
Nijirore : Equivalence 19-10-19 à 15:43

oui, bien sur:
1/a+b=0\Leftrightarrow a=-b\\ or\\ a\leq 0 & et& b\leq 0 & alors: -b\geq 0 \\ or: a=-b\\ donc: a=0 et b=0
2/cos^3x+sin^3x=1\Leftrightarrow cos^3x+sin^3x-1=0\Leftrightarrow cos^3x+sin^3x -cos^2x-sin^2x=0\Leftrightarrow cos^2x(cosx-1) + sin^2x(sinx-1)=0\\ or: -1\leq cosx\leq 1\Leftrightarrow -2\leq cosx-1\leq 0\\ c- à -d: cosx-1\leq 0\\ d'o\grave{u}: cos^2x(cosx-1)\leq 0\\ idem: sin^2x(sinx-1)\leq 0\\ donc: cos^2x(cosx-1)+sin^2x(sinx-1)=0\Leftrightarrow cos^2x(cosx-1)=0 et sin^2x(sinx-1)=0\Leftrightarrow cos^2x=0 ou cosx-1=0 et   sin^2x=0 ou sinx-1=0\Leftrightarrow cosx=0 ou cosx=1 et sinx=0 ou sinx=1\\
or: cos^3x+sin^3x=1\\
donc: cosx=1 et sinx=0 ou cosx=0 et sinx=1

Posté par
Kernelpanicre : Equivalence 19-10-19 à 16:04

Je pense que dans ton cas le mieux c'est des doubles implications. Par exemple pour 1), on voit clairement que si a = 0 et b = 0 => a+b=0, alors que l'implication inverse utilise un autre argument qui doit bien être détaillé dans ta rédaction. D'autres intervenants peuvent ne pas être d'accord, mais si tu veux être propre (car une fois encore, ce n'est pas les mêmes arguments et dans le 2) ils sont assez massifs), fais par double implication

Posté par
Kernelpanicre : Equivalence 19-10-19 à 16:05

Un petit truc révélateur quant au choix de la méthode, si tu utilises beaucoup de connecteurs logiques (On sait que, or, de plus, ainsi/donc) et que c'est un peu long à tout exprimer : double implication.

Posté par
carpediemre : Equivalence 19-10-19 à 16:12

salut

d'accord avec Kernelpanic

a = 0 et b = 0 => a + b = 0 est évidemment immédiat ...

réciproquement deux nombres négatifs de somme nulle sont nulles est tout autant immédiat ... et suffisant ...

mais pour détailler un peu : a \le 0 $ et $ b \le 0 => a + b \le 0

donc ...

pour 2/ utiliser l'identité remarquable a^3 + b^3 = ...  me semble plus efficace ...

Posté par
Nijirore : Equivalence 20-10-19 à 12:01

Bonjour,
Je m'excuse, je travaillais hier sur un exposé c'est pour cela que je n'ai pas répondu. Merci pour votres réponses.CarpediemJ'ai essayé pas mal de fois de factoriser l'identité  remarquable mais je me bloque devant les termes qui restent dehors les parenthèses.

Posté par
carpediemre : Equivalence 20-10-19 à 13:26

Citation :
J'ai essayé pas mal de fois de factoriser l'identité  remarquable mais je me bloque devant les termes qui restent dehors les parenthèses.
  

Posté par
Nijirore : Equivalence 20-10-19 à 13:37

Cos3x+sin3x=1 (cosx+sinx)(cos2x+sin2x-cosxsinx)-1=0
(cosx+sinx)(1-cosxsinx)-1=0 quand j'essaye de terminer la factorisation, je ne fais que tourner autour de la même expression.

Posté par
carpediemre : Equivalence 20-10-19 à 14:05

(\cos x + \sin x) (1 - \cos x \sin x) = 1 ouais ok bof ...

\cos^3x + \sin^3x = 1 \iff (\cos x + \sin x)^3 - 3 \cos x \sin x (\cos x + \sin x) = 1 \iff (\cos x + \sin x)( ouais rebof !!!

soit x un réel tel que \cos^3 x + \sin^3 x = 1

alors bof bof et rebof ...

Posté par
carpediemre : Equivalence 20-10-19 à 14:24

soit x = 2y

\cos^3 x + \sin^3 x = 1 \iff \cos^3 x - 1 = - \sin^3 x \iff (\cos x - 1) (\cos^2 x + \cos x + 1) = - \sin^3 x \iff (2 \cos^2 y - 2)(\cos^2 x + \cos x + 1) + 8 \sin^3 y \cos^3 y = 0 \\ \\ \iff \sin^2 y[\cos^2 x + \cos x + 1 - 4 \sin y \cos^3 y] = 0 \iff \sin y = 0 $ ou $ [...] = 0

sin y = 0 <=> sin (x/2) = 0 <=> ... donne la moitié des résultats ...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equivalence 20-10-19 à 14:25

Bonjour Nijiro,
Je ne vois pas non plus comment aboutir en factorisant \; a3+b3 .
Mais carpediem va peut-être revenir après la fin de certains matchs \;

En attendant, je tente d'améliorer ta méthode pour 2) :
Tout d'abord, il est évident que si \; sinx=1 et cosx=0 ou sinx=0 et cosx=1 \; est vrai \; alors \; cos3x +sin3x =1 \; est vrai.

La réciproque part de \; cos3x +sin3x =1 .
Alors \; cos2x (1-cosx) + sin2x (1-sinx) = 0 .
La somme de 2 réels positifs ou nuls ne peut être nulle que si les 2 réels sont nuls.
Donc \; cos2x (1-cosx) = 0 \; et \; sin2x (1-sinx) = 0 .
Donc \; (cosx = 0 ou cosx = 1) et (sinx = 0 ou sinx = 1) .

4 cas :
cosx = 0 et sinx = 0 \; qui est impossible
ou \; cosx = 0 et sinx = 1
ou \; cosx = 1 et sinx = 0
ou \; cosx = 1 et sin x = 1 \; qui est impossible

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equivalence 20-10-19 à 14:26

Doublée \;

Posté par
carpediemre : Equivalence 20-10-19 à 14:29

finalement ce que tu as fait est très bien ... illisible mais très bien ...

tu as très bien réinvesti les résultats d'un autre post ...

Posté par
Nijirore : Equivalence 03-11-19 à 13:41

Bonjour tout le monde
J'ai résolu l'exercice et c'était exactement comme Sylvieg l'a fait Je n'ai pas fait attention à vos réponses je m'excuse (c'était une semaine pleine d'épreuves). Mais en tout cas, merci pour votre aide, cela m'a fait tellement plaisir

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Equivalence 03-11-19 à 14:13

De rien, puisque tu as trouvé seule !
Et à une autre fois sur l'île \;

Posté par
carpediemre : Equivalence 03-11-19 à 14:55

et ça utilise effectivement la question 1/ donc


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