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equivalence de la suite

Posté par
Disiz 27-08-19 à 23:04

Salut , je veux comprendre qu'est ce que sa veut dire une equivalence de la somme ..a quel mesure faut chercher ce n est pas dit dans le enoncé  donc sa doit être le même pour tout les calculs avec le sigme? Merci

Soit la suite \left(u_{n}\right)_{n \in N^{*}} \text { définie par } : \forall n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n}=((n+1)(n+2) \ldots(n+n))^{\frac{1}{n}}} \\

  Déterminer un équivalent simple de cette suite.

moi je trouve avec le \dfrac{1}{n} \ln \left(\prod_{k=1}^{n}(n+k)\right)  et  le Riemann   n(2ln2 -1)

Posté par
carpediemre : equivalence de la suite 27-08-19 à 23:16

salut

ben montre comment ...

u_n = \prod_1^n ( n + k)^{\frac 1 n} = n \prod_1^n \left( 1+ \dfrac k n \right)^{\frac 1 n} \sim ne^{\frac {n^2} 2}

Posté par
Disizre : equivalence de la suite 27-08-19 à 23:26

\begin{array}{l}{\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}\left(\ln (n)+\ln \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\right)=\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln (n)+\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\dfrac{k}{n}\right)}\end{array} \\
=\ln (n)+\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\dfrac{k}{n}\right) \\

aprés je vois le riemann  et je calcul avec le intégral  mais faut pas oublier aussi de changer avec le exp a la fin

Posté par
carpediemre : equivalence de la suite 27-08-19 à 23:34

tu donnes plutôt une limite qu'un équivalent ...

\dfrac 1 n \sum_1^n \ln \left( 1 + \dfrac k n \right)  \underset{n  \to+ \infty}{\to} \int_1^2 \ln t dt

et mon équivalent est fort probablement faux ...

Posté par
Disizre : equivalence de la suite 27-08-19 à 23:36

n.exp(2ln2-1) =n(4/e) ? mais je ne comprends pas le equivalence  c'est quel point

Posté par
Disizre : equivalence de la suite 27-08-19 à 23:38

oui je fait avec le riemann pour trouver comme toi avec le integrale de 1a 2 oui c est comme sa que je fait

Posté par
Disizre : equivalence de la suite 27-08-19 à 23:40

a  je comprend maintement ce n est pas la meme equivalent  de sigma que limite de sigma

Posté par
carpediemre : equivalence de la suite 27-08-19 à 23:55

23h36 : faux

n (2\ln 2 -1) =\ln \left[ \left( \dfrac 4 e \right)^n \right]

Posté par
Disizre : equivalence de la suite 28-08-19 à 00:31

voila comment je fais

\dfrac{1}{n} \sum_{1}^{n} \ln \left(1+\dfrac{k}{n}\right) \quad_{n} \rightarrow_{+\infty} \int_{1}^{2} \ln t d t=2ln2  -1

donc le \exp \left(\ln (n)+\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\right)=n \exp \left(\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\right)
=n\exp (2\ln 2-1)=\dfrac{4n}{\mathrm{e}} ?

Tu me dis que limite ce n 'est pas la meme chose que equivalence

Posté par
Disizre : equivalence de la suite 28-08-19 à 00:40

moi je fais comme sa pour trouvé une simplification, je ne vois pas autre

quand tu cherche le equivalent de sigma tu cherches sur quel point lequel nombre c 'est sa que je ne vois pas bien , normalement le equivalent on le cherche sur le 0 ou le 1 ..infinity  tout depend du texte de l'enoncé .Mais la pour le sigma c 'est quoi .le probleme

Posté par
Disizre : equivalence de la suite 28-08-19 à 00:59

Quand tu écris u_{n}=\prod_{1}^{n}(n+k)^{\dfrac{1}{n}}=n \prod_{1}^{n}\left(1+\dfrac{k}{n}\right)^{\dfrac{1}{n}} \sim n e^{\dfrac{n^{2}}{2}}  

\sim  tu ne donne pas le point en bas ?

Moi je pensais que dans les equivalences , c 'est toujours par rapport à un x de I

donc je dit  que  u_{n} \sim \dfrac{4n}{e}  

Posté par
Disizre : equivalence de la suite 28-08-19 à 01:39

tu peux me donner la reponse de ce probleme ,  si tu connais  merci

Posté par
lakere : equivalence de la suite 28-08-19 à 09:10

Bonjour,

Oui, \dfrac{4n}{e} est un équivalent. Mais pour faire proprement les choses, il est possible d'écrire:

\ln\left(\dfrac{u_n}{n}\right)=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln\,(n+k)-\ln\,n= \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left[\ln\,(n+k)-\ln\,n\right]

  \ln\left(\dfrac{u_n}{n}\right)=\dfrac{1}{n}\,\sum_{k=1}^n\ln\,\left(1+\dfrac{k}{n}\right)

Si bien qu'avec Riemann, on a bien \lim\limts_{n\to +\infty}\dfrac{u_n}{n}=\dfrac{4}{e}

Posté par
Disizre : equivalence de la suite 28-08-19 à 18:55

d 'accord tu fais propre comme sa

je n 'ai pas tout écrit car c 'est beaucoup de ligne  je commence par le  
n \in \mathbb{N}^{*}  ,v_{n}=\ln \left(u_{n}\right)=\dfrac{1}{n} \ln \left(\prod_{k=1}^{n}(n+k)\right)=\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln (n+k)

v_{n}=\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(n\left(1+\dfrac{k}{n}\right)\right)=\ln (n)+\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\dfrac{k}{n}\right)

...

pour tout le n \in \mathbb{N}^{*}

u_{n}=\exp \left(v_{n}\right)=\exp \left(\ln (n)+\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\right)=n \exp \left(\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\dfrac{k}{n}\right)\right)

u_{n} \sim \dfrac{4 n}{e}  ok merci  

Lake la chose que je ne comprend pas c 'est le  \sim  pourquoi il est tout seul lui.Moi j ai deja vu dans le livre un nombre en bas de lui .Pourquoi on ne met rien quant c 'est  le equivalent pour  le sigma..je suis bloqué que pour sa pas pour trouver le resultat

Posté par
lakere : equivalence de la suite 28-08-19 à 19:21

En principe, un équivalent est donné « au voisinage de ....»
Ce sont ces pointillés (un nombre réel, l'infini..) qui sont précisés en dessous du symbole « équivalent ».
Dans le cas d'une suite, on est toujours au voisinage de +\infty et très souvent, on ne le mets pas.


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