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Erreur où

Posté par
jtorresm 21-09-19 à 17:59

Bonjour.

Je dois démontrer que

$u_n\ge \frac{15}{4}\times 0.5^n$

pour la suite (Un) définie ainsi:

$u_0=2$
et
$u_{n+1}=\frac{1}{5}u_n+3\times 0.5^n$

pour n non nul.

L'initialisation, pas de souci.

L'hérédité :

$u_n\ge \frac{15}{4}\times 0.5^n$ par hypothèse

$\frac{1}{5}u_n\ge \frac{1}{5}\times\frac{15}{4}\times 0.5^n$

$\frac{1}{5}u_n\ge \frac{3}{4}\times 0.5^n$

$\frac{1}{5}u_n+3\times 0.5^n\ge \frac{3}{4}\times 0.5^n+3\times 0.5^n$

$\frac{1}{5}u_n+3\times 0.5^n\ge (\frac{1}{4}+1)\times 3\times 0.5^n$

$\frac{1}{5}u_n+3\times 0.5^n\ge (\frac{5}{4})\times 3\times 0.5^n$

$\frac{1}{5}u_n+3\times 0.5^n\ge \frac{15}{4}\times 0.5^n$

$u_{n+1}\ge \frac{15}{4}\times 0.5^n$

J obtiens pas l'exposant (n+1). Bien entendu,

$0.5^n\ge 0.5^{n+1}$ mais...

Il est où l'erreur?

Merci

Johnny

Posté par re : Erreur où 21-09-19 à 18:05

Bonjour,
Il n'y a pas d'erreur
Comme tu le dis, 0.5ⁿ0.5ⁿ⁺¹
Donc u_n+1(15/4)*0.5ⁿ⁺¹
Non?

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