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espace affine
Bonsoir,
Je dois démontrer le théorème de Ceva: Soient ABC un triangle, A' appartient à (BC), C' à (AB) et B' à (CA). Les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes si et seulement si
Il y a de barres sur A'B, A'C, B'C, B'A, C'a et C'B je ne sais pas si c'est important, je ne sais pas vraiment ce que cela signifie.
On considère l'espace affine euclidien A(R^3) rapport à un repère (O,i,j,k) noté Oxyz.
Je ne vois pas du tout comment procéder, j'aimerai bien un peu d'aide svp.
Merci.
Bonsoir,
Pour la méthode...
On se place dans un plan affine.
On prend trois équations de droites.
De là, il faut montrer que ses trois drites sont concourrantes si et seulement si un certain déterminant de taille 3*3 est nul.
De cette équivalence, on peut en déduire le théorème de Ceva.
On peut prendre par exemple le repère affine (A, AB (vecteur), AC (vecteur) )
1. Calcul l'équation de la droite (BC)
2. Calcul des coordonnée de A', B', et C' en utilisant un paramètre
3. Calcul A'B/A'C , B'C/BA et C'A/C'B
4. Trouver les équation des droite (AA'), (BB') et (CC').
Calcul du déterminant pour que ces trois droites soit concourrantes et on doit trouver en théorie le résultat...
Bon courage !
(re)Bonsoir, grenouillette
Le mieux est d'aller voir la page de wikipedia relative au théorème de Ceva.
Merci pour ces indications.
J'ai quelques problèmes par contre dès le début: je ne vois pas comment trouver l'équation de (BC).
Sinon j'étais allé voir sur wikipédia mais je n'ai pas très bien compris leur façon de faire perroquet.
Bonjour,
Pour l'équation de (BC), essaie de calculer les coordonnée de B, de C puis du vecteur BC.
Puis prend un point M (x,y) appartenant à cette droite.
Calcul les coordonnées du vecteur BM par exemple. Ensuite, exploite le fait que les vecteur BC et BM soit colinéaire.
Ok super je crois que j'ai trouvé:
j'ai B(1,0), C(0,1)
vecteur BC(-1,1)
vecteur BM(x-1,y)
et enfin je trouve BC:x+y-1=0.
Encore une question pout trouver A',B' et C' il faut que j'utilise les équations de (BC),(AB) et (CA)je pense, par contre est-ce que (AB):x=0 et (CA):y=0 ?
Pour la droite (BC), je trouve la même équation: x+y-1=0
Pour (AB), idem, même résultat! x=0 (mais je crois que c'est pas nécessaire de connaitre l'équation de la droite (AB) pour la suite.
L'étape suivante est de trouver les coordonnée des points A', B' et C' en utilisant pour chacun un paramètre:
A' (a, 1-a)
B' (0, b)
C' (c, 0)
Ensuite il faut calculer les coordonnée de certains vecteurs (désolée, je n'arrive pas à faire les flèches sur les vecteurs):
A'B (1-a, -1+a)
A'C (-a, a)
B'C (0, 1-b)
B'A (0, -b)
C'A (-c, 0)
C'B (1, -b)
Maintenant, on peut calculer les rapport de mesures algébriques:
Par la même méthode que précédement, on trouve les équations des droite suivante:
(AA'): x(1-a)-ay=0
(BB'): bx+y-b=0
(CC'): x+cy-c=0
Ensuite, on calcule le déderminant pour connaitre la condition de concourances des droites:
|1-a -a 0|
|b 1 -b| = 0
|1 c c|
=>
D'ou le résultat vooulu (en se reférant au calul des rapports de mesures algébriques)
.
Merci, mais j'en demandais pas tant.
J'ai un petit soucis, je trouve bien \frac{A'B}{A'C}=\frac{a-1}{a} mais les deux autres je ne trouve pas le bon résultat: j'obtiens: \frac{B'C}{B'A}=\frac{1-b}{b} et \frac{C'A}{C'B}=\frac{c}{1-c}
Je comprend pas
Désolé j'ai oublié de mettre les mais les deux autres je ne trouve pas le bon résultat: j'obtiens:
et
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