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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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espace affine

Posté par
coopers
20-03-22 à 18:21

Bonjour,

je voudrais montrer que l'ensemble des points de 2 de coordonnées (x,1) ,  x, forme un espace affine de direction
en utilisant la définition suivante:

un espace affine  est la donnée d'un ensemble non vide E, d'un espace vectoriel  $\vec E$ et d'une application
+:  E  x  $\vec E$E vérifiant les 3 propriétés suivantes :

1) AE,  A+0 = A où 0 est le neutre de ( $\vec E$ , +)

2) AE, (u,v) $\vec E$ 2,  (A+u)+v=  A+ (u+v)

3) (A,B)E2, il existe un unique u $\vec E$  tel que A+u=B

Ma réponse est la suivante:

L'espace vectoriel $\vec R$est non vide
Soit E l'ensemble des points de 2 de coordonnées (x,1) ,  x.
Posons  . :  E x $\vec R$E

(x,1) E,  (x,1).1 = (x.1 ,1)= (x,1) où 1 désigne le neutre de ($\vec R$, . )

(x,1) E, a,b $\vec R$2 ,  ( (x,1).a ).b = (xa,a).b = (xab , ab) et
(x,1). (a.b )= (xab, ab) donc ( (x,1).a ).b =(x,1). (a.b )
ici je ne comprends pas car (xab, ab)E

(x,1) ,(x',1) E2, il existe un unique u $\vec R$ tel que (x,1). u = (x' , u)
ici je ne comprends pas car (x' u, u) E

Donc E est un espace affine de direction R

Je vous remercie pour votre aide

Posté par
Rintaro
re : espace affine 20-03-22 à 18:47

Bonsoir,

je ne comprends rien de ce que tu fais. Un espace vectoriel n'est jamais vide. Je crois que tu confonds espace vectoriel et groupe multiplicatif. De plus, on est d'accord qu'avec tes notations :

\overset{\rightarrow}{R} = \R ?

Reprends les définitions calmement. Tu as identifié l'espace E : ok.
Tu as (éventuellement, cf question au dessus) identifié l'espace vectoriel sous-jacent : ok.

Maintenant, il faut définir la somme. Quel est le groupe additif de ton espace vectoriel ? Quel est son neutre ?

Posté par
coopers
re : espace affine 20-03-22 à 20:22

Bonsoir,

merci pour votre réponse.

oui $\vec R$ =
le groupe additif est (, +)
son neutre est 0

on pose : E x RE

en appliquant la définition, pour la première propriété j'obtiens:
pour tout (x,1) E, (x,1)+ 0 =(x,1)
où  0 est le neutre de (,+)
Je ne comprends pas  car on additionne le couple (x,1) et 0  (qui son deux objets différents ) au lieu de
(x,1)+( 0,0) =(x,1)

J'ai le même problème pour les propriétés suivantes...

Posté par
lafol Moderateur
re : espace affine 20-03-22 à 20:55

Bonjour
Tu n'as toujours pas défini ce que tu notes +, et qui agit bien entre un point (x,1) de E et un "vecteur" a de IR.
Essaie quelque chose comme une translation , (x,1)+a=(x+a,1)

Posté par
coopers
re : espace affine 22-03-22 à 12:43

Bonjour,

je viens de rediger une nouvelle réponse :

Soient E l'ensemble des points de 2 de coordonnées (x,1), x , l'espace vectoriel R et l'application:
+ : E x R E
  (x,1) + a (x+a, 1)  aR

(x,1) E ,
(x,1) + 0 =(x+0, 1) = (x,1) où 0 désigne le neutre  de (R,+)

(x,1) E , (u,v) R2,
( (x,1) +u ) +v = (x+u, 1) + v = (x+u+v ,1)=  (x,1) +(u+v)

(x,1), (x',1)   E2,
il existe un unique uR  tel que
(x,1) + u = (x',1)   (x+u,1 )=(x',1)
il s'agit du vecteur u= x'-x

Donc  E  est un espace affine de direction R

Merci

Posté par
coopers
re : espace affine 22-03-22 à 21:42

Est-ce qu'il serait possible de me dire si ma réponse ci-dessus est correcte et si c'est bien rédigé.

Merci par avance pour votre aide .

Posté par
lafol Moderateur
re : espace affine 23-03-22 à 22:14

c'est carrément mieux que ton premier post, oui !

Posté par
coopers
re : espace affine 23-03-22 à 23:36

lafol

lafol @ 23-03-2022 à 22:14

c'est carrément mieux que ton premier post, oui !


Merci beaucoup pour votre réponse.



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