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Espace des applications linéaires.
Bonjour à tous.
Pour réviser mes exams de fin de semestre je fais des exercices d'algèbre linéaire et je reste bloqué sur l'un d'eux.
Soient E et F deux K espaces vectoriels, soit V un sous-espace vectoriel de E, soit L(E,F) l'espace des applications linéaires de E dans F. Montrer que LV(E,F)={ f
L(E,F) tel que V
Ker(f) } est un sous-espace vectoriel de L(E,F).
L'application nulle est dans LV(E,F) car son noyau est égal à E.
Il faut ensuite montrer que c'est stable par combinaison linéaire.
Soit u et v LV(E,F). Soit 
K.
Et là il faut montrer que VKer(a.u+v). Je bloque.
Je me demandais s'il y avais une relation entre Ker(u+v), Ker(u) et Ker(v) ?
Merci.
salut
si x V Ker u et dans Ker v
alors u(x) = v(x) = 0 donc au(x) + bv(x) = 0
donc V Ker(au+bv)
.....
Bonjour,
Soit x appartenant à V.
(au+v)(x)=au(x)+v(x)=0 car x appartient à V et u,v appartiennent à Lv(E,F).
Donc x appartient à Ker(au+v) d'où l'inclusion.
Bonjour,
En complément de ce qui a été dit, il peut être éclairant de reformuler la définition de LV(E,F) : il s'agit des applications linéaires de E dans F qui sont nulles sur V.
Mais oui c'était tout bête. Je ne m'en sortais pas car je partais de xE au lieu de xV.
Je vous remercie tous.
J'adore tous ces problèmes qui traitent d'espaces vectoriels abstraits comme L(E,F), l'espace des suites à valeurs réelles ou encore {0,1}^n sur le corps {0,1}. Ca nous fait sortir de la banalité de 
^n.
Quand tu veux montrer que A est inclus dans B, la démonstration commence toujours par : soit x appartenant à A. Et se termine par : "donc x appartient à B".
Bonne soirée 
Ker(u)
Ker(v)Ker(u+v)Merci pour cette formule klux.
Je ne la connaissais pas mais elle est assez évidente et ne nous est finalement pas d'une grande utilité ici.
T'as une démonstration formelle ?
C'est tout bête : soient u et v deux applications linéaires.
Soit x appartenant à Ker(u) inter Ker(v).
(u+v)(x)=u(x)+v(x) car u et v sont linéaires.
Or u(x)=0 car x appartient à Ker(u) et v(x)=0 car c appartient à Ker(v), donc (u+v)(x)=0.
D'où x appartient à Ker(u+v). CQFD
C'est bien de s'entraîner à démontrer des petits résultats de ce genre : , ...
(u+v)(x)=u(x)+v(x) car u et v sont linéaires.
ce n'est pas parce que u et v sont linéaires que (u+v)(x) = u(x) + v(x) mais tout simplement parce que l'espace des applications (linéaires ou non) est un anneau ....
J'ai une autre question.
Si dim(E)=n, dim(F)=p je sais que dim(L(E,F))=np car L(E,F) est isomorphe à l'espace des matrices de taille n*p à coefficients dans K.
Maintenant si dim(V)=d, quel est la dimension de LV(E,F) ?
soit U un supplémentaire de V de dimension n-d donc
si f est un élément de L = LV(E,F) donc f est nulle sur V (au moins) ensuite tu choisis une base(ui) de U et tu choisis une image quelconque dans F
ce qui devrait te permettre de déterminer la dimension L ....
Bonjour.
Pour pinailler un peu. (comme à mon habitude 
)
l'espace des applications (linéaires ou non) est un anneau ....
C'est quoi la loi multiplicative lorsque l'espace d'arrivée et de départ sont différents ?
Sinon, si on a
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