Niveau Maths sup

Espace dual

Posté par
Serbiwni 14-09-20 à 00:00

Bonsoir, je travaille actuellement les formes linéaires mais je crois que je ne connais pas certaines de leurs propriétés même si je comprends très bien la définition de forme linéaire.
En effet je m'intéresse à l'exercice suivant :
Soient V un R-espace vectoriel et W ⊆ V un sous-espace vectoriel.
1. Montrer que $W \neq V$ ⇔ il existe 0 $\neq$ φ ∈ V^∗ tel que φ|_W = 0.
Outre le fait de n'avoir rien compris à la notation φ|_W = 0, le corrigé commence de la manière suivante :
Si $W \neq V$ , il existe 0 $\neq$ v tel que v ∈/ W. Cet élément induit une forme linéaire v∗ ∈ V ∗, qui vérifie v^∗(z) $\neq$ 0 ⇔ 0 $\neq$ z∈span(z).

Que signifie "Cet élément induit une forme linéaire" et pourquoi le fait-il ?

Posté par re : Espace dual 14-09-20 à 02:49

Bonsoir

Pour tout vecteur $v\in V$ il existe $v^*\in V^*$ tel que $v^*(v)=1$ , on a aussi $\ker v^*$ qui est un hyperplan de $V$ donc $\ker v^*+$Vect$(v)=V$ car $v\notin \ker v^*$ , et si $v\notin W$ on déduit que $W\subset \ker v^*$ donc $v^*_{|W}=0$

Posté par re : Espace dual 14-09-20 à 02:58

et j'ajoute que la restriction de $v^*$ sur $W$ se note $v^*_{|W}$ et on a :

$v^*_{|W}:W\to \K$

Posté par re : Espace dual 14-09-20 à 12:08

Bonjour,
Ceci

mousse42 @ 14-09-2020 à 02:49

Bonsoir

Pour tout vecteur $v\in V$ il existe $v^*\in V^*$ tel que $v^*(v)=1$ , on a aussi $\ker v^*$ qui est un hyperplan de $V$ donc $\ker v^*+$Vect$(v)=V$ car $v\notin \ker v^*$ , et si $v\notin W$ on déduit que $W\subset \ker v^*$ donc $v^*_{|W}=0$

est incorrect (ou plutot il manque des choses, un simple v dans V ne definit pas un v^* dans le dual il faut justement preciser le supplementaire de v qui sera le noyau de v^*)

Posté par re : Espace dual 14-09-20 à 12:43

Bonjour mokassin

Oui pour la définition de $v^*$ il faut utiliser le théorème de la base incomplète, ce qui nous donne $(v=e_1, e_2, ...,e_n)$ et considérer l'application $f: \sum_{k=1}^n\lambda_ie_i\mapsto \lambda_1$ et montrer que $f\in E^*=\mathcal{L}(V,\mathbb{K})$

On note $v^*:=f$ .

Peux-tu confirmer s'il te plait...

Posté par re : Espace dual 15-09-20 à 10:08

Tu n'as pas besoin d'utiliser le théorème de la base incomplète, et la partie du raisonnement que j'ai cité dans mon message précédent est assez bizarre pour ne pas dire fausse.

En particulier cette partie là est fausse

mousse42 @ 14-09-2020 à 02:49

on déduit que $W\subset \ker v^*$ donc $v^*_{|W}=0$

Et l'application que tu construit dans ton dernier message n'a pas trop de chance de marcher a priori si tu te contentes de compléter v en une base de V. Justement parce que l'argument précédent est faux.

Si tu as une forme linéaire qui ne s'annule pas sur v, rien ne dit que W est dans son noyau, c'est dans l'"autre sens" que ca marche.

Posté par re : Espace dual 15-09-20 à 10:28

Je trouve la correction pas tres propre personnellement.
Une manière de faire est la suivante:
Comme W est un sous espace strict de V, il est contenu dans un hyperplan H de V (par le théorème de la base incomplète ou l'axiome du choix), si l'on prend v qui n'est pas dans H, alors il existe f (le v^* de la correction), forme linéaire nulle sur H et valant 1 sur v, car $V=H\oplus R.v$ , a fortiori f est nulle sur W.

Posté par re : Espace dual 15-09-20 à 11:38

Ok, je vois où est mon problème.

J'étais en train de rédiger un correctif ...plus besoin merci

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