Bonjour à tous et merci au fait!

avec ||u|| = 1, Peut on déjà dire qu'avec la "constante" u, on a affaire à une série alternée convergente?

  

Laissez tomber, je dis n'importe nawak.

eh bein euh eupe qd même!

? Je ne vois pas... on peut déjà dire que f est linéaire mais pour cela pas besoin du "sachant que..."

Peut-être qu'on peut démontrer avec ça que f est bijective, ou que c'est une isométrie, ou une similitude, je sais pas...

Bonsoir à tous

Considérons un vecteur non nul u de E, alors le vecteur est unitaire. En appliquant l'hypothèse de l'énoncé, on a l'égalité
On en déduit que (cette égalité est aussi vraie si u est le vecteur nul.
Or on s'aperçoit de 2 choses :
1)
2) (f(x)|y)=(x|f(y)) (donc f est auto adjoint).

Le point 2) assure que f est diagonalisable.
Considérons alors une valeur propre de f et x un vecteur propre pour cette valeur propre. Ainsi, on a f(x)=x. En injectant cette égalité dans l'égalité 1), on obtient , d'où .
On en déduit que f n'a qu'une seule valeur propre et celle-ci vaut k. Or un endomorphisme diagonalisable qui n'a qu'une seule valeur propre est une homothétie, d'où f est une homothétie de rapport k.

Voilà

Kaiser

C'est plus costaud que je ne le pensais...

Merci.

C'est plus costaud que je ne le pensais aussi... je ne savais pas qu'il y avait des maths de ce niveau au concours d'inspecteur des impôts.

C'est pour éliminer des gens...

N'y a t il pas un moyen plus light d'y parvenir?

Vue la simplicité de la réponse ....

Merci.

Ca fait quelques années que je ne pratique plus les mathématiques "supérieures", sauf quelques occasions ; je ne saurais donc affirmer qu'il n'y a pas un moyen plus light que celui de kaiser d'y parvenir.

Par contre, une façon de faire l'énoncé moins hard serait de détailler les questions :
  1) Montrer que k est l'unique valeur propre de f
  2) Montrer que f est autoadjoint
  3) En déduire que f est une homothétie de rapport k.

Ce genre de façons de poser l'énoncé est selon moi plus juste : vu comme l'énoncé que tu as posté est formulé, on ne peut pas du tout comparer les compétences de deux candidats qui ne savent pas répondre à la question ; alors que vu l'énoncé que je propose, on peut voir, et donc évaluer, chacune des compétences que kaiser a utilisé :  
  a) si le candidat connait la définition d'une valeur propre
  b) s'il sait se débrouiller avec cette définition
  c) s'il sait ce que signifie autoadjoint
  d) s'il sait qu'autoadjoint implique diagonalisable
  e) s'il sait ce qu'est une homothétie
  f) s'il sait mettre en place une petite démarche mathématique

Ca n'aurait pas de sens, certes, de détailler autant cet exercice si c'est sûr que tous les candidats seraient capables de le faire, comme, théoriquement, à l'agreg, mais je ne pense que ce soit le cas pour le concours des impôts.

Ciao.

C'est tiré d'une épreuve d'inspecteur de je ne sais plus quelle année. C'est sûr que c'est l'exo "hard " de l'épreuve en question.

Si Beaucoup de personnes comme kaiser se présentent à l'épreuve, on est tenté de donner ce genre d'exo pour écrémer; et oui, c'est quand même l'objet de tout concours.

je poste ici pour information l'épreuve de 2005, vous pourrez voir que les examinateurs se sont tout de même calmé depuis ce temps






Votre avis?

Quelle est la condition pour que f soit diagonalisable dans un cas général?

Bonsoir derby3

Les assertions suivantes sont équivalentes :

1) f est diagonalisable
2) f admet un polynôme annulateur scindé à racines simples
3) tout vecteur est une combinaison linéaire de vecteurs propres de f
4) pour toute valeur propre , la dimension de Ker(f-id) est égale à l'ordre de multiplicité de dans le polynôme caractéristique de f


Kaiser

Donc, si f admet une racine double, f n'est pas diagonalisable.

Bonjour derby3
Tu veux certainement dire une valeur propre double ?
Dans ce cas, je n'ai pas dis ça. j'ai simplement dit que f est diagonalisable si et seulement si f admettait un polynôme annulateur scindé à racines simples. f peut très bien avoir des valeurs propres d'ordre supérieur à 1 (par exemple, les homothéties).

Kaiser

cf. :


Une valeur propre double empêche la diagonalisation.

Les homothéties ne sont pas des applications linéaires, mais des applications affines.
La partie linéaire d'un homothétie est k.id, donc je pense que tu voulais parler de k.id.
A+

Bonsoir otto et derby

Bien sûr, je considérais les homothéties vectorielles (donc de centre 0).
Et pour toi, derby, sache qu'une valeur propre double n'empêche absolument pas la diagonalisation. En effet, dans le lien que tu nous présente, il s'agit simplement du fait que l'existence de n valeurs propres distinctes est une condition suffisante à la diagonalisabilité mais en aucun cas cela constitue une condition nécessaire.
je réutilise encore une fois mon contre-exemple : les homothéties (vectorielles, bien sûr) dont la matrice est déjà diagonale (dans n'importe quelle bas d'ailleurs).

J'espère que ces explications seront plus éclairantes.

Kaiser