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espace propre
Bonsoir
J'ai un petit exo ,
Soit la matrice dans la base canonique
(1,a,1)
(0,1,b)
(0,0,c)
déterminer les espaces propres en discutant suivant les valeurs des réels a,b,c
on a le polynome caractéristique
P(X) = (1-X)^2(c-X)
1 VP d'ordre 2
c VP d'ordre 1
Espace propre.. on commence par 1
je trouve
ay+z=0
bz=0
(c-1)z=0
mais après je ne vois pas trop comment faire,
merci de me débloquer..
Bonjour,
quel est le polynôme minimal de ta matrice ?
Pour l'espace associé à c, il n'y a pas de problème.
Bonjour,
le polynome minimal est le même que le polynome caractéristique ici,
pour l'espace associé a c effectivement ne pose aucun problème
mais pour celui de associé à la VP 1, je ne vois pas comment discuter ces valeurs ?
Si tu as que le polynôme minimal = le polynôme caractéristique, alors tu sais que ta matrice est non diagonalisable et donc que l'espace propre associé à la valeur propre 1 est ??
Rhooo je connaissais pas cette propriété,
pol minimale = pol caractéristique alors la matrice est non diagonalisable ..?!
Tu as une preuve stp ?
sinon pour l'espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1 ?
Ou peut être j'ai pas bien compris ?
Bonjour, nassoufa_02 et otto.
Dans ce cas précis, le polynôme caractéristique n'est pas toujours égal au polynôme minimal. De plus, nassoufa_02, tu sembles savoir peu de choses sur le polynôme minimal...
nassoufa_02:
Pour l'ensemble des valeurs propres de la matrice, il y a deux cas à considérer: le premier cas est c=1; dans ce cas, il y a une seule valeur propre, 1. Le deuxième cas est pour c différent de 1. Dans ce cas, il y a effectivement deux valeurs propres, c et 1.
Le début de ton raisonnement sur le calcul du sous-espace propre associé à 1 est correct. Il faut le terminer. Il y a plusieurs cas à considérer:
c différent de 1 a différent de 0
c différent de 1 a=0
....
oui en effet pour le polynome minimal, je sais le calculer mais je ne vois pas vraiment la vrai utilité, tout ce que je sais c'est qu'il nous donne un critère de diagoalisabilité, c'est tout ..
puis pour les cas je saurais faire, mais peux tu stp me dire l'idée directrice, parceque j'ai deux définitions sous les yeux que je ne comprends pas ..
un vecteur propre est par définition non nul
un vecteur nul est un vecteur propre ...
??
C'est donc pour ça que je ne sais pas comment faire, pour étudier les cas quoi ..
pourras tu m'expliquer davantage stp ?
Merci d'avcance ...
Tu as écrit:
un vecteur propre est par définition non nul
un vecteur nul est un vecteur propre ...
La deuxième phrase est fausse: le vecteur nul n'est jamais un vecteur propre. Par contre:
Le sous-espace propre de f associé à une valeur propre lambda est l'ensemble des vecteurs x de E tels que f(x)=lambda x.
Dans le sous-espace propre de f associé à lambda se trouvent tous les vecteurs propres de f associés à lambda et le vecteur nul. Le vecteur nul est dans le sous-espace propre associé à lambda, mais n'est pas un vecteur propre.
Etude du cas: c différent de 1 et a différent de 0
Le sous-espace propre associé à 1 est l'ensemble des (x,y,z) tels que:
ay + z = 0 bz=0 (c-1)z=0
donc tels que: y=z=0
On reconnaît donc l'ensemble des vecteurs (x,0,0), qui est une droite de base (1,0,0).
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