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espace stables et VeP

Posté par
mousse42 17-06-22 à 13:23

Bonjour,

J'ai le théorème suivante,

On note f un endomorphisme de \R^3 et A sa matrice associée dans la base canonique.

Si A^T\begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix} alors \{(x,y,z)\in \R^3 :ax+by+cz=0\} est stable par f.


Voici ma preuve, j'utilise la dualité.

Soit \phi =ae_1^*+be_2^*+ce_3^*

^tf(\phi)=\lambda \phi par hypothèse.

Soit (x,y,z)\in \{(x,y,z)\in \R^3 :ax+by+cz=0\}=\ker \phi

^tf(\phi)(x,y,z)=\phi\big[ f(x,y,z)\big]=\lambda \phi(x,y,z)=0 par conséquent f(x,y,z)\in \ker \phi

___________________________________________________

Voici une autre preuve, que je trouve pas terrible (la dualité n'a pas été étudiée) :
\\ A^T\begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}\iff (a,b,c)A=\lambda (a,b,c)


\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}=A\cdot\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}

aX+bY+cZ=(a,b,c)\begin{pmatrix}X\\Y\\Z\end{pmatrix}=(a,b,c)A\cdot\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}=\lambda(a,b,c)\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}=\lambda(ax+by+cz)=0

Vous en pensez quoi?
Merci

Posté par
GBZMre : espace stables et VeP 17-06-22 à 14:19

Bonjour,

Je préfère la deuxième !

Posté par
mousse42re : espace stables et VeP 17-06-22 à 14:30

merci GBZM, mais comment expliquer cette équivalence sans passer par la dualité ?

A^T\begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}\iff (a,b,c)A=\lambda (a,b,c)

cette égalité (a,b,c)A=\lambda (a,b,c), c'est Mat(\phi\circ f)=\lambda Mat(\phi) \\ , cependant on transforme une colonne representant les coordonnées d'un vecteur \begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix} en une matrice associée à la forme linéaire \phi qui est (a,b,c), sans voir la dualité

Posté par
GBZMre : espace stables et VeP 17-06-22 à 14:35

Si MN=P, alors N^{\mathsf T}M^{\mathsf T}=P^{\mathsf T} (la transposée du produit est le produit dans l'autre sens des transposées).

Posté par
mousse42re : espace stables et VeP 17-06-22 à 14:37

ou alors il faut considérer \begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix} comme la matrice de l'application linéaire

g : x\in \R\mapsto x\begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}\in \R^3

Posté par
mousse42re : espace stables et VeP 17-06-22 à 14:44

GBZM @ 17-06-2022 à 14:35

Si MN=P, alors N^{\mathsf T}M^{\mathsf T}=P^{\mathsf T} (la transposée du produit est le produit dans l'autre sens des transposées).


Je suis d'accord avec ça, mais avec ces opérations, on ne sait plus qui est quoi.

Multiplier une matrice par un vecteur colonne à droite, je sais ce que ça donne. Mais multiplier la transposée d'un vecteur colonne (qui donne un vecteur ligne) par une matrice à gauche, je ne vois plus ce qu'on est en train de faire, à part si on considère un vecteur colonne comme une matrice associée à une AL

Posté par
GBZMre : espace stables et VeP 17-06-22 à 15:10

On considère un vecteur ligne comme une matrice à une ligne.
On est en train de multiplier deux matrices.
Pourquoi te fais-tu des noeuds dans la tête ?

Posté par
mousse42re : espace stables et VeP 17-06-22 à 15:21

car j'associe toujours une application linéaire à une matrice. Et quand je fais des opérations sur les matrices, je souhaite comprendre ce que je fais et à quoi ça correspond. ce n'est pas se faire des noeuds dans le cerveau, c'est plutôt défaire les noeuds

Posté par
mousse42re : espace stables et VeP 17-06-22 à 15:22

en tout cas merci pour ta réponse GBZM

Posté par AitOuglifre : espace stables et VeP 17-06-22 à 16:54

Et pourquoi vouloir à tout prix faire cette association?

Posté par
mousse42re : espace stables et VeP 17-06-22 à 16:57

AitOuglif car on parle de  f.

Posté par
GBZMre : espace stables et VeP 17-06-22 à 17:32

Une matrice à une ligne est une matrice de forme linéaire, et si tu notes \ell : (x,y,z)\mapsto ax +by+cz, alors \begin{pmatrix} a&b&c\end{pmatrix} A est la matrice de \ell\circ f.
Mais reviens à ta question

mousse42 @ 17-06-2022 à 14:30

comment expliquer cette équivalence sans passer par la dualité ?

A^T\begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix} a\\b\\c\end{pmatrix}\iff (a,b,c)A=\lambda (a,b,c)

Comprends-u que cette équivalence est juste la transposition d'un produit de matrice, et qu'on n'a pas besoin de faire intervenir la dualité pour l'expliquer ? C'est pour ça que je trouve que tu te fais des noeuds dans la tête.

Posté par
mousse42re : espace stables et VeP 17-06-22 à 18:14

ok, c'est compris, autre chose concernant la transposée d'une matrice A^{\mathsf{T}}, et toutes les opérations associées, on a quand même besoin de la dualité pour définir tout ça, non?

Posté par
GBZMre : espace stables et VeP 17-06-22 à 18:19

Non.

Posté par
mousse42re : espace stables et VeP 17-06-22 à 18:27

alors là ça m'en bouche un coin. Dans mes cours de licence, la transposée est définie en utilisant la dualité à partir de l'application :

^tf : \phi \in E^*\mapsto  ^tf(\phi)=\phi\circ f \in E^* et à partir de là, déduit toutes les opérations que l'on connait...

Ai-je loupé un truc?

Posté par
GBZMre : espace stables et VeP 17-06-22 à 18:33

La transposée de A=(a_{i,j})\in M_{n,p}(K) est A^{\mathsf T}= (b_{k,\ell})\in M_{p,n}(K) où b_{k,\ell}=a_{\ell,k}.
À partir de là on déduit toutes les propriétés de la transposition (transposée d'une somme, d'un produit, déterminant de la transposée d'une matrice carrée etc.).

J'ai de plus en plus l'impression que tu aimes te compliquer inutilement la vie.

Posté par
mousse42re : espace stables et VeP 17-06-22 à 18:44

merci GBZM pour la réponse, au final utiliser la dualité n'est pas utile pour montrer ce théorème.

Posté par
GBZMre : espace stables et VeP 17-06-22 à 22:13

La dualité sous-tend cette histoire, mais il n'y a pas besoin de la faire intervenir explicitement : on peut rester à un niveau élémentaire.


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